专题64 反比例函数k的八种几何模型及解法（解析版）-2025《初中数学》74大招专题突破.docx

模型介绍

考点1一点一垂线模型
【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积等于|k|．
【示例】

拓展：

【例1】．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y＝（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（）

A．越来越小 B．越来越大
C．不变 D．先变大后变小
解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，

则BC＝OA，
设点P（x，），
则S△PAB＝PA•BC＝••x＝3，
当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，
故选：C．
变式训练
【变1-1】．如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是4，则k的值为﹣．

解：设OM＝a，则OM＝MN＝NC＝a，
∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，AM⊥OC、BN⊥OC，
∴AM＝，BN＝，
∵S△AOC＝S△AOM+S四边形AMNB+S△BNC，
∴﹣×3a×＝﹣k+4﹣×a×，
解得k＝﹣，
故答案为：﹣．
【变1-2】．如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（）

A． B． C．2 D．
解：把P（2，3），M（a，2）代入y＝得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3，
设直线OM的解析式为y＝mx，
把M（3，2）代入得3m＝2，解得m＝，
所以直线OM的解析式为y＝x，当x＝2时，y＝×2＝，
所以C点坐标为（2，），
所以△OAC的面积＝×2×＝．
故选：B．

考点2一点两垂线模型
【模型讲解】
反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|．
【示例】

【例2】．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）

A．1 B．2 C．3 D．4
解：设直线AB与x轴交于点C．
∵AB∥y轴，
∴AC⊥x轴，BC⊥x轴．
∵点A在双曲线y＝的图象上，
∴△AOC的面积＝×10＝5．
∵点B在双曲线y＝的图象上，
∴△COB的面积＝×6＝3．
∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝5﹣3＝2．
故选：B．

变式训练
【变2-1】．如图，函数y＝（x＞0）和（x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，△PAB的面积为．

解：设点P（x，），则点B（，），A（x，），
∴BP＝x﹣＝，AP＝﹣＝，
∴S△ABP＝＝，
故答案为：．
【变2-2】．如图，直线AB∥x轴，分别交反比例函数y＝图象于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为4．

解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴cd﹣ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故答案为：4．
【变2-3】．如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为﹣2．

解：∵直线l∥x轴，
∴AM⊥y轴，BM⊥y轴，
∴S△AOM＝|k|，S△BOM＝×4＝2，
∵S△AOB＝3，
∴S△AOM＝1，
∴|k|＝2，
∵k＜0，
∴k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
考点3两曲一平行模型
模型讲解】
两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型1两条双曲线的k值符号相同
【示例】

【例3】．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为16，且BF＝2AF，则k值为（）

A．﹣8 B．﹣12 C．﹣24 D．﹣36
解：设A（x，0）．
∵正方形ADEF的面积为16，
∴ADEF的边长为4，
∴E（x﹣4，4），
∵BF＝2AF，
∴BF＝2×4＝8，
∴B（x，12）．
∵点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，
∴4（x﹣4）＝12x，
解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，12），
∴k＝﹣2×12＝﹣24，
故选：C．

变式训练
【变3-1】．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，