利用导数解决三类求和.doc

利用导数解决三类求和毛礼顺(枣阳一中441200)对于本文的三类求和问题，文[1]构造组合模型，文[2]构造辅助函数，都很巧妙地解决了问题。本文从二项式定理出发，利用函数的导数，结合赋值法，从而使问题得到了解决。例1．求证：1•2•3•…•k+2•3•4•…•(k+1)+3•4•5•…•(k+2)+n(n+1)(n+2)…(n+k-1)=(n+k)(n+k-1)…(n+1)n证明：上式两边对x求导，得：1•2•3•…•k+2•3•4•…•(k+1)x+3•4•5•…•(k+2)x2+n(n+1)(n+2)…(n+k-1)xn-1在上式中取x=1，得：1•2•3•…•k+2•3•4•…•(k+1)+3•4•5•…•(k+2)+n(n+1)(n+2)…(n+k-1)=(n+k)(n+k-1)…(n+1)n例2．求证：证明：上式两边对x求导，得：上式两边对x求导，得：+当n≥2时，上式中取x=1，得：又当n=1时，12＝∴例3．（1989年全国高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2证明：上式两边对x求导，得：上式两边对x求导，得：++上式两边对x求导，得：++∴当n≥3时，上式取x=1，得：1•22+2•32+…+n(n+1)2=又当n=1时，当n=2时，∴1•22+2•32+…+n(n+1)2=故存在a=3,b=11,c=10，使得等式对一切正整数n成立。参考文献[1]常燕玲。两类求和问题的组合模型。数学通讯，2000年（17）。[2]王向群。两类求和问题的又一构造解法。数学通讯，2001年（7）。作者简介：毛礼顺（1976－），男，湖北枣阳一中一级教师。