2019_2020学年高中数学第一章解三角形1.doc

-5-1.1.2余弦定理【基础练习】1．在△ABC中，a2等于()A．a2＋b2－2abcosCB．b2＋c2－2bcsinCC．a2＋c2－2accosBD．b2＋c2－2bccosA【答案】D【解析】利用余弦定理的定义判断即可．2．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8，则△ABC的面积等于()A．2eq\r(3)B．4C．4eq\r(3)D．8【答案】A【解析】∵b2＋c2＝a2＋bc，可得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×8×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).故选A．3．(2019年山西太原期末)如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq\r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)，则CD的长度等于()A．4B．5C．4eq\r(2)D．5eq\r(2)【答案】A【解析】由题知sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠CBD))＝cos∠CBD，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝27＋25－2×3eq\r(3)×5×eq\f(2\r(3),5)＝16.∴CD＝4.4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.【答案】0【解析】∵b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－2ac·cos120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.5．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．【答案】eq\r(57)【解析】∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b，c.又b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC＝eq\r(57).6．在△ABC中，S△ABC＝15eq\r(3)，a＋b＋c＝30，A＋C＝eq\f(B,2)，求三角形各边边长．【解析】∵A＋C＝eq\f(B,2)，∴eq\f(3B,2)＝180°，B＝120°.由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac＝15eq\r(3)，得ac＝60，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cos120°)＝(30－b)2－60，得b＝14，∴a＋c＝16.∴a，c是方程x2－16x＋60＝0的两个根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝10，,c＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,c＝10.))∴该三角形各边长为a＝6，b＝14，c＝10或a＝10，b＝14，c＝6.7．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝5.(1)若∠A＝60°，求cosB的值；(2)若cos(A－B)＝eq\f(7,8)，点D在边BC上，满足DB＝DA，求CD的长度．【解析】(1)由正弦定理知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(4,sinB)＝eq\f(5,sin60°)，解得sinB＝eq\f(2\r(,3),5).∵AC<BC，∴∠B<∠A＝60°.∴∠B为锐角．∴cosB＝eq\r(,1－\f(12,25))＝eq\f(\r(,13),5).(2)∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠B．∴cos∠CAD＝cos(A－B)＝eq\f(7,8).在△CAD中，设AD＝x，则CD＝5－x.由余弦定理得(5－x)2＝42＋x2－2×4×x×eq\f(7,8)，解得x＝3，则AD＝3，CD＝2.8．在△ABC中，A＝30°，BC＝2eq\r(5)，点D在AB边上，且∠BCD为锐角，CD＝2，△BCD的面积为4.(1)求cos∠BCD的值；(2)求边AC的长．【解析】(1)∵BC＝2eq\r(5)，CD＝2，则S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝4，∴sin∠BCD＝eq\f(2\r(5),5).∴cos∠BCD＝eq\f(\r(5),5).(2)在△BCD中，