数学模型中的反问题逆问题1.doc

数学模型中的反问题向下运动向上运动风筝数学模型竟赛中有很多涉及反问题。如2010国赛中A题和2011年美赛中A题都涉及反问题。顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。正问题的定义为：按着自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。自然顺序的定义为：不受任何限制和约定俗成的顺序，一般地都认为他们是自然而然的，无须多加解释的。在一般地语境下，认为这些顺序都是是前提条件的。如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。纯粹的自然顺序的例子是第一，第二，第三这种升序；或者反过来的倒序；约定俗成的例子是上北下南左西右东。反问题的定义为：根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。但相对正问题，反问题求解难大，计算量大。许多人知道求解问题的思路，但由于选用计算方法不适当，在几天内求不出计算结果，失去获奖机会。尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。这些都可以提出为某种形式的反问题。可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。简单的概括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有一个概括的了解.第一节反问题的例子例1物体下落距离L与时间T，正问题是：已知物体的高度，测量下落时间，即t=t(x).反问题是：已知物体下落时间，求物体的高度。当人们不知道自由落体运动规律x=0.5gT2之前，能用时钟测量物体下落时间，但反过来，给定下落时间，测量物体高度比较难。对于没有读中学的人，能完成时钟测量物体下落时间的试验。但给他物体下落时间，测量物体的下落高度是不容易的事情。例2年龄与身高。正问题是，根据年龄T，每周岁测身高H，得到身高H与年龄T的关系H=H(T).反问题是：已知身高H，求年龄T，即求关系T=H(T).例3速度V与轨道形状z=f(x)，其摩擦系数为μ，z为高度，初始速度为V0，末速度为Ve=V(y=H).正问题是，已知轨道形状z=f(x)，求末速度为Ve.反问题是：给定末速度为Ve.求轨道形状z=f(x)。对大学生，正问题能求出来，但反问题有些难。由上面几个例子，可以在数学上定义正问题为y=f(x)，定义域为D，值域为V。反问题为x=g(y).由高等数学可知，若函数f(x)在D上是单调的，则反函数g(y)存在且唯一。相对正问题而言，反问题计算量大，选用适当的计算方法是成功求解反问题的关键。因而要求在求反问题之前，要求学生掌握基本的计算方法。第二节计算方法2.1方程求根在数学建模中，求解方程的根是经常遇到的。常用求根方法有迭代法，二分法，牛顿法，极小值法，一维寻查法，格子法。2.1.1迭代法设函数f(x)=x-g(x)有一根x*,则f(x*)=0,或x*-g(x*)=0;或x*=g(x*);定义求根的迭代公式为：定理:若导数g’的绝对值小于1,即|g’|≤L<1,则迭代收敛。证：由于x*=g(x*)，则xk+1-x*=g(xk)-g(x*)=g’(ξ)(xk-x*)有|xk+1-x*|<L|xk-x*|<L2|xk-1-x*|<Lk+1|x0-x*|因为L<1,则极限Lk-->0,故xkx*.证毕。例求f(x)=x-x*x的零点。解：这里g(x)=x*x,g’(x)=2x,则当|x|<0.5时，|g’(x)|<1,即|x|<0.5时，迭代公式.xk+1=xk2收敛。取x0=0.1,计算得X1=x02=0.12=10-2X2=x12=(10-2)2=10-4……..最后求得xkx*=0.实际上，我们知道x=0为x=x*x的解，但它还有一解x=1;由于|2x|=|2*1|=2,则用上面迭代公式x=g(x)=x*x求不出解x=1.它需要构造另一种迭代公式.xk+1=g(xk)=√xk容易验证当x=1时，|g’|<1.取x0=2,计算得X1=x00.5=20.5≈1.414X2=x10.5=(20.5)0.5=20.25≈1.1189X3=x30.5=(20.25)0.5=20.125≈1.090……..最后求得xkx*=1.由上面例子可知，对同一函数f(x)，它的不同零点对应的迭代公式不同。2.1.2二分法在高等数学里，我们已学习下面定理。定理：设f(a)f(b)<0,f(x)在区间[a,b]上连续可导，则至少有一个(a,b)中的点x*，使f(x*)=0.取a0