对坐标的曲面积分(1).doc

离散数学
第1章集合

第5节对坐标的曲面积分
这一节是全书的最难，请给力攻破。
5.1对坐标的曲面积分概念和性质
对坐标曲线积分的积分曲线是有向的。类似地，对坐标曲面积分的积分曲面也是有向的，即选定侧方向的。
1定向曲面
图5.1

如图5.1所示，长方形纸带ABCD显然有正反两侧，让其中一侧涂上红色，另一侧涂上蓝色。让AB端不动，而将CD端扭转，再将B与D，A与C粘合起来，AB与CD上的点也对应粘合起来，结果红侧和蓝侧就在同一侧了。因此这样得到的曲面（称为麦比乌斯()带）只有一侧，它是单侧曲面．
结论：有的曲面只有一侧，称为单侧曲面；有的曲面有两侧，称为双侧曲面。
假设我们以后遇到的曲面都是双侧的。
说双侧曲面是有向曲面，就是选定了的一侧．通常我们用曲面上的法向量的方向说明规定的侧即曲面的方向（侧向）．如取封闭曲面的法向量指向外表示该曲面取外侧，又如取曲面:的每点法向量指向上(法向量与轴成锐角)表示取曲面上侧．
2对坐标曲面积分的概念
背景实例。
【例5.1】假设一河流中每点处水的流速与时间无关，只与点的位置有关，在点处的流速为向量，在河中放一双侧曲面，并选定的一侧，求单位时间内水流向指定一侧的质量(称为水流量，设水的密度为1)．
①先看一种特殊情况：设为常向量，为有向平面（其方向如单位法向量所指）上的一块，如图5.2，从图上直观可看出，单位时间内流过的质量就是以为底，为斜高的代数体积(即可取负值)：

其中，向量称为曲面的面积向量。当为正时，此时为锐角，说明水的流向与的指定侧一致，为负时，说明水的流向与的指定侧方向相反．
图5.2

图5.3

②一般情况：我们仍然用四步计算。
（1）分割：将任意分成个小块，如图5.3；
（2）近似：在每个小块上任取一点，将近似视为平的，又将上的流速近似视为常向量，则流过的流量

其中为曲面在点处的单位法向量。。
（3）求和：

（4）取极限：记上最大两点距离为，。当时，每个，误差趋于0。所以
，(5.1)
(5.1)式右端恰为数量函数在曲面上的第一类曲面积分，即
．(5.2)
为将如此计算的千千万万例子，引入下面定义。
定义5.1设为有界的有向曲面，为在处的单位法向量，为在上有定义的有界向量函数。

其中，称为被积（向量）函数，称为积分变量，称为积分曲面，称为面积向量元素（微分）。
对坐标的曲面积分又称为第二类曲面积分。向量函数在定向曲面上的第二类曲面积分就是数量值函数在曲面上的第一类曲面积分。
设，其中，是法向量的方向角，都是的函数。面积在平面上的投影面积，由于有符号，也有符号（与轴的夹角为锐角时为正，反之为负）；在平面上的投影面积，由于有符号，也有符号（与轴的夹角为锐角时为正，反之为负）；在平面上的投影面积，由于有符号，也有符号（与轴的夹角为锐角时为正，反之为负）。

因此

。

是三个曲面积分．
（经）利用关系，上面三个曲面积分可以互相转化，例如

等等。
（如何看顺、记住这些式子？）

例5.1中的流量可表为:
．
关于可积性，有结论：
若在有向光滑曲面上连续，则积分存在．
由定义知，对坐标的曲面积分有如下性质：
(1)方向性：用表示与取相反侧，则
．
（这因为上的单位法向量方向相反。）
(2)线性性：对任意实数，有
．
时。常数因子可提出来。
(3)积分曲面可加性：设，且至多仅边界相交，方向一致。则
．

5.2对坐标的曲面积分的计算
首先，由于

所以第二类曲面积分的计算可归结为第一类曲面积分的计算，当然得先算出在点法向量的方向余弦．
我们引进三个符号：

（如何看顺、记住这些符号？（与所标坐标轴方向一致取1，反之取-1。））
定理5.1设有向曲面的方程是，为在面上的投影，在上连续，在上连续，则有计算公式：

(5.3)
证记。
的法向量为，所以单位法向量

而。将这些代入便得

特别地，在(5.3)式中若，得：
，(5.4)
若:，则有公式：

同理，若:，则有公式：

(5.5)
特别地，由(5.5)得
(5.6)
若，，则有计算公式:

(5.7)
特别，由(5.7)得
(5.8)
在具体计算积分时，若可同时表示成三种显式时，则我们既可以用(5.3),(5.5),(5.7)之一计算，也可以分别用(5.4),(5.6),(5.8)计算，然后相加，即

．
公式(5.3),(5.5),(5.7)将三个不同的第二类曲面积分化为同一坐标面的二重积分，这种积分方法称为合一投影法；公式(5.4),(5.6),(5.8)将三个不同的第二类曲面积分化为在不同的坐标面的二重积分，这种积分方法称为分面投影法．
（如何看顺、记住这些公式？）
【例5.2】计算，为球面外