数学竞赛答案8.doc

2014年全国初中数学联合竞赛预赛试题参考答案
（八年级组）
第一试
一、选择题
1．C2．D3．A4．B5．B
俯视图
2
1
2
（5.由和可得，，，，，，，，……因为2014=4×503+2，所以=2）
二、填空题
6．20°
7．－4
8．91
9．5（小正方体个数最少情况如图所示（图中数字表示该位置小正方体的个数）所以最少为5块）
10．23（对角四边形的面积之和相等）
第二试
一、（1）证明：∵
∴
∴……………………………………………………6分
（2）解：∵∴

∴

.………15分
二、解：方程两边分解因式得（2x+y）（x+y）=2×19×53．………………………………5分
不妨先设x≥y≥1，则有2x+y≥x+2y>x+y>1．
由此，只有三种情况：
…………………………10分
当时，解得
当时，不符合题意.
故原方程的正整数解为………………………………………………15分
三、解：设本次比赛钓到的鱼的总数是x条．
则钓到3条或3条以上的人共钓到鱼的条数为：，钓到条的人数为；…………………………………………………………5分
类似地，钓到10条或10条以下的人共钓到鱼的条数为：，钓到这些鱼的人数为；………………10分
根据题意，可知参加本次比赛的总人数得，，
解得x=541．
因此，本次比赛共钓到541条鱼．……………………………………………………15分

四、证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴．
（1）∵CE∥AD，∴，.
∴．
∴AC=AE．
∵F为EC的中点，∴AF⊥BC．
∴．
∴AF⊥AD．…………………………………………………………10分
（2）延长BA与MN延长线于点E，
A
M
D
C
B
N
E
F
3
54
4
1
2
过B作BF∥AC交NM延长线于点F.
∴，．
∵M为BC的中点
∴BM＝CM．
在△BFM和△CNM中，

∴△BFM≌△CNM（AAS）．
∴BF＝CN．
∵MN∥AD，
∴，.
∴．
∴AE＝AN，BE＝BF．
设CN=x，则BF=x，AE＝AN＝AC－CN＝10－x，BE＝AB＋AE＝6＋10－x．
∴6＋10－x＝x．
解得x＝8．∴CN＝5.5，AN=2．………………………………………………25分