微积分第一章函数与极限自测题C参考答案.doc

对外经济贸易大学信息学院应用数学系

函数与极限自测题C参考答案

一填空题
1．2．3．4．5．6．7．
二选择题
1．A2．D3．D4．D
三计算题
1．因为.
从而
2．解：

3．记，先证单调增加，即证明
用归纳法，显然，若成立，则
，故有对任意自然数n均成立，即单调增加。
其次证明有界：因为，即有
得，可推得，从而单调有界.
因此，根据单调有界收敛准则和收敛,设,因为，
故，由，得，即，
解得，即.
4．.
5．
.
6．原式＝

7．原式＝.
8．，
，故，原式＝1。
9．解：间断点为满足x=0或x+1=0或x-1=0或,
即为间断点。除了外，有
，
易知，
故为第一类（可去）间断点，
为第二类（无穷）间断点。
10.解：在区间内的间断点，为不存在的点，即
各点。
在处，，在处，，
故为的第二类间断点。
在处，，在处，，但相应的函数值在该处无定义，故在这两处为可去间断点。
四证明题
1．证明：
证明：不妨设，
则，
于是从而，因此所以。
2．提示：用定义证明
3．证明：
证明:由于0<,
由夹逼定理,取极限,得
,
故.
（a为常数）类似可证。
4．证明：，因，故时从而
,
注意这里已为定数，因而当时
，于是令则时，
。
5．证明：因若，则，因此
。
6．证明：
。
7．证明：。
8．证明：
。
9．设函数在上连续,且,证明:存在一个,使得,其中,为正数.
证明:由于在上连续,,所以在上必有最大值M和最小值N,因,必有
(1)
(2)
因,由(1)式和(2)式有

于是
或
从而由介值定理,在内存在一点,使得

即。