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对外经济贸易大学信息学院应用数学系 函数与极限自测题C参考答案 一填空题 1.2.3.4.5.6.7. 二选择题 1.A2.D3.D4.D 三计算题 1.因为. 从而 2.解: 3.记,先证单调增加,即证明 用归纳法,显然,若成立,则 ,故有对任意自然数n均成立,即单调增加。 其次证明有界:因为,即有 得,可推得,从而单调有界. 因此,根据单调有界收敛准则和收敛,设,因为, 故,由,得,即, 解得,即. 4.. 5. . 6.原式= 7.原式=. 8., ,故,原式=1。 9.解:间断点为满足x=0或x+1=0或x-1=0或, 即为间断点。除了外,有 , 易知, 故为第一类(可去)间断点, 为第二类(无穷)间断点。 10.解:在区间内的间断点,为不存在的点,即 各点。 在处,,在处,, 故为的第二类间断点。 在处,,在处,,但相应的函数值在该处无定义,故在这两处为可去间断点。 四证明题 1.证明: 证明:不妨设, 则, 于是从而,因此所以。 2.提示:用定义证明 3.证明: 证明:由于0<, 由夹逼定理,取极限,得 , 故. (a为常数)类似可证。 4.证明:,因,故时从而 , 注意这里已为定数,因而当时 ,于是令则时, 。 5.证明:因若,则,因此 。 6.证明: 。 7.证明:。 8.证明: 。 9.设函数在上连续,且,证明:存在一个,使得,其中,为正数. 证明:由于在上连续,,所以在上必有最大值M和最小值N,因,必有 (1) (2) 因,由(1)式和(2)式有 于是 或 从而由介值定理,在内存在一点,使得 即。

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