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对外经济贸易大学信息学院应用数学系




函数与极限自测题C参考答案

一填空题
1.2.3.4.5.6.7.
二选择题
1.A2.D3.D4.D
三计算题
1.因为.
从而
2.解:

3.记,先证单调增加,即证明
用归纳法,显然,若成立,则
,故有对任意自然数n均成立,即单调增加。
其次证明有界:因为,即有
得,可推得,从而单调有界.
因此,根据单调有界收敛准则和收敛,设,因为,
故,由,得,即,
解得,即.
4..
5.
.
6.原式=

7.原式=.
8.,
,故,原式=1。
9.解:间断点为满足x=0或x+1=0或x-1=0或,
即为间断点。除了外,有
,
易知,
故为第一类(可去)间断点,
为第二类(无穷)间断点。
10.解:在区间内的间断点,为不存在的点,即
各点。
在处,,在处,,
故为的第二类间断点。
在处,,在处,,但相应的函数值在该处无定义,故在这两处为可去间断点。
四证明题
1.证明:
证明:不妨设,
则,
于是从而,因此所以。
2.提示:用定义证明
3.证明:
证明:由于0<,
由夹逼定理,取极限,得
,
故.
(a为常数)类似可证。
4.证明:,因,故时从而
,
注意这里已为定数,因而当时
,于是令则时,
。
5.证明:因若,则,因此
。
6.证明:
。
7.证明:。
8.证明:
。
9.设函数在上连续,且,证明:存在一个,使得,其中,为正数.
证明:由于在上连续,,所以在上必有最大值M和最小值N,因,必有
(1)
(2)
因,由(1)式和(2)式有

于是
或
从而由介值定理,在内存在一点,使得

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