微积分 第三版 上册 复习提纲.docx

微积分第三版上册复习提纲
2012年10月24日星期三DR.proxmjov

第零章-预备知识

一。互质的定义：互质（relativelyprime）又叫互素。若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。
互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。
二。集合的运算律：
集合的分配率：A∩B∪C=A∩B∪(A∩C)
A∪B∩C=A∪B∩(A∪C)
集合的对偶律：(A∪B)C=AC∩BC(A∩B)C=AC∪BC
三。映射：单射+满射=一一映射
四。函数的运算：
和：(f+g)(x)=f(x)+g(x)x∈D
差：(f-g)(x)=f(x)-g(x)x∈D
积：(f.g)(x)=f(x).g(x)x∈D
商：(f/g)(x)=f(x)/g(x)x∈D且g(x)≠0
函数的线性组合：αf+βgx=αfx+βg(x)x∈D
五。三角函数：
正割函数：y=secx余割函数：y=cscx图像

sec2x-tan2x=1
csc2x-cot2x=1

六。诱导公式：
sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）
cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）
tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）
cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）
sec（2kπ+α）=secα（k∈Z）
csc（2kπ+α）=cscα（k∈Z）
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec（π+α）=－secα
csc（π+α）=－cscα
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec（－α）=secα
csc(－α）=－cscα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=—sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sec（π/2+α）=－cscα
csc（π/2+α）=secα
奇变偶不变，符号看象限

七。和差化积，积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意右式前的负号】
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2=sinβcosα=[sin（β+α）+sin（β-α）]/2
这里用到了sin（-α）=-sinα即sin（α-β）=-sin（β-α）
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
八。符号函数：y=sngx取整函数y=[x]

九。反三角函数：
1、y=arcsin(x），定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]
2、y=arccos(x），定义域[-1，1]，值域[0，π]，
3、y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2）
4、y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π）

十。双曲函数：
1、双曲正弦
shz=(e^z-e^(-z))/2
2、双曲余弦
chz=(e^z+e^(-z))/2
3、双曲正切
thz=shz/chz=(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))
4、双曲HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536283.htm"\t"_blank"余切
cthz=chz/shz=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z))
5、双曲HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536271.htm"\t"_blank"正割
schz=1/chz
6、双曲HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536276.htm"\t"_blank"余割
每个双曲函数之间的联系：
xh(z)=1/shz
sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2.0;
cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2.0;
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x);
coth(x)=1/tanh(x);
sech(x)=1/cosh(x);
csch(x)=1/sinh(x);
cosh^2(x)-sinh^2(x)=1;

和差运算律：sinh(x+y)=sinhx