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微积分第三版上册复习提纲
2012年10月24日星期三DR.proxmjov

第零章-预备知识

一。互质的定义:互质(relativelyprime)又叫互素。若N个整数的最大公因数是1,则称这N个整数互质。
互质数的写法:如c与m互质,则写作(c,m)=1。
二。集合的运算律:
集合的分配率:A∩B∪C=A∩B∪(A∩C)
A∪B∩C=A∪B∩(A∪C)
集合的对偶律:(A∪B)C=AC∩BC(A∩B)C=AC∪BC
三。映射:单射+满射=一一映射
四。函数的运算:
和:(f+g)(x)=f(x)+g(x)x∈D
差:(f-g)(x)=f(x)-g(x)x∈D
积:(f.g)(x)=f(x).g(x)x∈D
商:(f/g)(x)=f(x)/g(x)x∈D且g(x)≠0
函数的线性组合:αf+βgx=αfx+βg(x)x∈D
五。三角函数:
正割函数:y=secx余割函数:y=cscx图像

sec2x-tan2x=1
csc2x-cot2x=1


六。诱导公式:
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
sec(2kπ+α)=secα(k∈Z)
csc(2kπ+α)=cscα(k∈Z)
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=—sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
奇变偶不变,符号看象限

七。和差化积,积化和差公式:
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2=sinβcosα=[sin(β+α)+sin(β-α)]/2
这里用到了sin(-α)=-sinα即sin(α-β)=-sin(β-α)
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]【注意右式前的负号】
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
八。符号函数:y=sngx取整函数y=[x]


九。反三角函数:
1、y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2]
2、y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,π],
3、y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2)
4、y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π)


十。双曲函数:
1、双曲正弦
shz=(e^z-e^(-z))/2
2、双曲余弦
chz=(e^z+e^(-z))/2
3、双曲正切
thz=shz/chz=(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))
4、双曲HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536283.htm"\t"_blank"余切
cthz=chz/shz=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z))
5、双曲HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536271.htm"\t"_blank"正割
schz=1/chz
6、双曲HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/536276.htm"\t"_blank"余割
每个双曲函数之间的联系:
xh(z)=1/shz
sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2.0;
cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2.0;
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x);
coth(x)=1/tanh(x);
sech(x)=1/cosh(x);
csch(x)=1/sinh(x);
cosh^2(x)-sinh^2(x)=1;

和差运算律:sinh(x+y)=sinhx
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