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化工质量1998．6

多变量统计过程控制图及其判别

⋯⋯原理特剐考察了当子样
本点超出控制限时+而各变量在体啥特控制图中却表明是受控的情况，其原因

美⋯键词：重量笪型童篓窭里丝型里j帮吐一如dfl訇．J『f

一
、问题的提出J若子样本均值．和，分别落在相
我们已经十分熟悉休哈特控制图，我应的控制限内，且排列元缺陷，我们即可判
们也知道它只能对单一质量特性进行管理断该过程处于统计控制状态。这一判断等
控制，我们把凡是只能对单一质量特性进价于由；．和；构成的数对必须落在如
行控制的控制图称为单变量控制图。但图2所示的阴影范围内。我们把图2称为
是，在很多情况下，我们需要同时对二个或联台控制图。

．T-个以上质量特性进行控制(以下讨论在
正态分布假设下进行)，例如，轴承的质量
同时取决于其内径(。)和外径(X，)；又
如，纤维的质量同时取决于其直径()和
抗拉强度(．)；等等。这时，我们也许可cL

以运用——图分别对其均值进行控制，．、
如图l所示cLcl上)

^●●-●c‘

图2轴承内径和外径的联台控制图
这种联合控制图存在以下同题：
1、如果需要同时控制的质量特性多于
二个，则无法在平面上画出联合控制图，而
分别作出单变量控制图的工作量相当大；

圈1轴承内径和外径的控制图，2、更为严重的是，当过程确实处于控

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糊状态时，；和；同时落在联合控制范围(T：_2_一1为置信水平q下自由度为2，n—I
内的概率(当x和x2独立时)仅为：的T的临界值)。则质量特性中至少有一

(09973)=0．99460729个不处于统计控制状态。T控制图如图3
亦即运用联台控制图对过程的受控状态作所示。图3中横坐标仍为子样本号，纵坐标
判断时犯第一类错误的概率(记为a)为：为T。，控制限即为l2．一I．
a=1一(0．9973)：0．00539271
这个概率是休哈特控制图犯第一类错误的f^
概率的2倍随着需要同时控制的质量特
性个数(D)的增加，这种情况将越趋严重：
a：1一(O．9973)
当变量问不独立时，尚没有简单的表达形
式
3、在联合控制图中，由于子样本号被取
消，子样本点排列的缺陷就无法检出，从而
对过程受控状态的判断也将造成偏差。田3HotdlingT控制田(p=2J
二、HotellingT0控制图综上所述，T控制图具有下优点：
解决多变量控制问题的方法之一就是l、过程的状态只用一个数(即T)即可
设法找到一个统计量，从而使之转化为对单表征；2、由于表出了过程的时间顺序(子样
变量的控制。Hotellinz(1947年)最早对此本号)，非随机因素造成的子样本点排列的
问题进行了研究⋯。为方便起见，我们先缺陷可以检出来；3、犯第一类错误的概率很
讨论二个质量特性的情况。容易由确定的置信水平Ot一眼看出。
设有二个质量特性I和2，其联合分这样控制方法可扩展到有P个质量
布服从二维正态分布。；I和；2分别表示特性需要同时进行控制的情况。设n个质
和2的容量为的子样本的均值；；。量特性的联合分布服从P维正态分布。从
和2分别表示I和2的名义均值；和处于控铜状态下的过程中抽取m个容量为
5i分别表示1和2的样本方差；S12表示n的子样本。为第个子样本中第，个
质量特性的第；个观察值，则在第个子样
1和2的样本协方差。Hotelling选择的
率中第个质量特性的均值和方差记为：
统计量为：
；一
HofemngT；1一。喜?：(4)

+5}(；2一X一2)一2S；2(；一；)(；2一；2)](1)s=(一)：：
HotellingT服从自由度为2和n一1的
(5)
HotellingT(以下简称(写)为T)分布，是在第^个子样本中，第个质量特性
T分布与F分布存在如下关系㈨：和第h个质量特性间的协方差记为：

2·(一1]=’．F2一—2(L2)一置()(m—)
根据(1)式计算各子样本的T。若
，^：1，⋯，m，^(6)
T>’2
．(3)上述统计量；5、s对全部m个

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子样本的均值即作为对总体的估计，分别记分布与F分布的关系如下：【[、
为：
T2．一‘F“4)
⋯．
；。j一——宣自iJk，J=，⋯．．．’p(L7)J控制图的控制限在。下为：

一苫，，一，p(8)砭一一‘-I5)
一毒s，⋯(9)值得注意的是，虽然和休哈特控制图不
同，控制图的控制限在a，P，n确定后即可
对任一子样本定义质量特性均值矩阵：
查F分布表并根据(15)式确定下来，而无需
x一(xi)。1(10)
根据从受控状态下的过程中采集样本来确
对全部Ⅱ一个子样本定义质量特性名义
定但是，在计算各子样本的T时，则必须
均值矩阵：
从受控状态下的过程中采集样本，以便获得
X一