2012高考数学精英备考专题讲座导数.doc

第二节导数
导数是文科生研究函数的单调性，求函数极（最）值等的重要工具之一，导数是历来高考的必考点.导数对文科生来说，在课标中增加了三角函数，指数，对数函数等的导数，导数在文科高考中必须引起重视.导数在历来高考中一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.5～0.8之间.
考试要求①了解导数概念的实际背景,理解导数的概念及其几何意义；②了解函数的单调性与导数的关系,会求函数的极大(小)值及闭区间上的最值；③能求一些初等函数的导数；④了解函数在某点取得极值的充要条件；⑤能够用导数研究函数的单调性,利用导数解决某些实际问题.
题型一初等函数的导数
例1设函数,其中，且，求.
点拨看清题目中变量和，的自变量是，为参变量，因此是三次函数；于是先对
求导，再求，从而转化为已知三角函数值求角的问题.
解∵ ∴
，又,,∴,得.
易错点①此题中含有两个字母，学生误以为是三角函数，求导数时按三角函数求导法则；.
②容易忽略的范围.
变式与引申1：设函数，其中
，则导数的取值范围是.
题型二初等函数的单调区间和极值
例2已知函数在上是增函数，在上是减函数，且的一
个根为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求证：还有不同于的实根、，且、、成等差数列；（Ⅲ）若函数的极大值小于，求的取值范围.
点拨第（Ⅰ）问中由已知得出函数的极大值点是，即可解出的值；第（Ⅱ）问要使成
等差数列，必须，因此关键是将因式分解，再借助韦达定理推出、、三者的关系；用函数的思想分析第（Ⅲ）问，将看作是关于的函数，题目即转化为求的值域问题.
解 （Ⅰ），是极大值点，.
（Ⅱ）令，得或,由的单调性知，是方程
的一个根，则.
,
方程的根的判别式.
又，即不是方程的根
有不同于的根、.，、、成等差数列.
（Ⅲ）根据函数的单调性可知是极大值点,
，于是,
令,求导,时，,
在上单调递减,即.
易错点在第（Ⅱ）问中学生对进行因式分解时易出错或不能因式分解，分解之后易忽视判断“
不是方程的根”；第（Ⅲ）问中学生不易从函数的角度分析的取值范围.
变式与引申2：设函数，求函
数的单调区间与极值.
题型三导数与不等式
例3已知函数的图像在点处的切线方程
为(Ⅰ)求实数的值；(Ⅱ)设是上的增函数.求实数的
最大值；
点拔①过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程，从而布列方程组求
出的值；②利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上恒大于(小于)零”转化为不等式恒成立的问题.
解(Ⅰ)由及题设得即
(Ⅱ)由得
∵是上的增函数， ∴在上恒成立.
即在[]上恒成立,设.
∵，∴,即不等式≥0在上恒成立.
当时，设在上恒成立.
当＞0时，设，.
因为＞0，所以函数在上单调递增.因此
∵ ∴ 即又,故.综上，的最大值为3.
易错点有些学生错用是上的增函数的解为.
变式与引申3：设函数，若对于任意的都有成立，求实数的值.

题型四导数与解析几何
例4已知函数．
(Ⅰ)若函数的图像上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；
(Ⅱ)若函数在和时取得极值，且其图像与轴有且只有3个交点，求实数的
取值范围．
点拨本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第(Ⅰ)问中“点P的存在性问题”转化为“方程解的存在性问题”；第(Ⅱ)问中“图像与轴有且只有3个交点”转化为“的极大值大于0，且极小值小于0”.
解(Ⅰ),设切点为,
则曲线在点P处的切线的斜率,
由题意，知有解，∴即.
(Ⅱ)由已知可得和是方程的两根，
∴，，∴，．
∴，∴在处取得极大值，在处取得极小值．
∵函数的图像与轴有且只有3个交点，∴
又，∴解得．
易错点有些学生对三次函数图像与轴（或平行轴的直线）的交点问题难以从整体把握，难以找到几何问题转化为代数问题的切入点.
变式与引申4：设函数，已知，且（,且），函数（，为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图像上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上.
（1）试求a，b的值；（2）若时，函数的图像恒在函数图像的下方，求正整数的值.
求导
由=0求
求的值
得出最大（小）值
本节主要考查初等函数的导数；导数的运算；利用导数研究函数的极值、单调性；求切线等数形结合的思想和函数与方程的思想.
点评：
①求在的最值的方法：

求导
由=0求
列表
得出单调区间(极值)

②求单调区间、极值的方法：

③利用导数，求曲线在点处的切线方程，先求再求方程
习题1—2
1．已知= .
2.曲线在点（0，1）处的切线方程为．
3.设定函数(＞0)，且方程
的两个根分别为1，4.
（Ⅰ）当3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围.
4.已知函数．
（Ⅰ）设，求函数的极值；
（Ⅱ）若，且当时，恒成