法语版微积分-豆柴文库

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PrimitivesetintégralesCours


CHAPITRE9:PRIMITIVES-INTEGRALES


1.Primitivesd’unefonction

Définition
SoitfunefonctiondéfiniesurunintervalleI.
UnefonctionFestuneprimitivedefsurI,sietseulementsi,elleestdérivablesurIetpourtoutx
deI,Fx'()=fx()

Exemple

2
Lafonctionf:103xxa+admetpourprimitivesurRlafonctionFx:53ax+x

2
fadmetaussilafonctionFx1:532ax+x+pourprimitivesurR;eneffet

Fx'()===+Fx1'()fx()10x3

Théorème
ToutefonctioncontinuesurunintervalleIadmetdesprimitivessurI


Théorème
SoitfunefonctioncontinuesurunintervalleIetFuneprimitivedefsurI
TouteprimitivedefsurIestdelaformeGx:()aFxC+oùCestuneconstanteréelle

Démonstration
GestdérivablesurIetGF''==f


©GérardHirsch–Maths541
PrimitivesetintégralesCours

Donc,∀∈xI,'()'()(GxFx−=GFx−)'()0=
Puisque()'0GF−=surI,alorsd’aprèsunthéorèmeduchapitredérivationGFC−=
oùCestuneconstanteréelle
Parconséquent:∀∈xIGxFxC,()()=+

Interprétationgraphique:lescourbesreprésentativesdesfonctionsprimitivesdefsedéduisent
r
lesunesdesautresparlestranslationsdevecteurCjavecC∈R

Exemple

SoitflafonctiondéfiniesurRpar:f()xx=432−++−2x5x3x5
DéterminerlesprimitivesFdefsurR.
festunefonctionpolynôme,doncfestcontinuesurRetelleadmetdesprimitives
surR.
D’aprèsletableaudesprimitivesusuelles,lesfonctions:

432
xxaaaaa,,,,1xxxxxxx
admettentrespectivementpourprimitiveslesfonctions:
xxxx5432
x,,,,xxxxx
aaaaa5432
LafonctionfadmetpourprimitivessurRlesfonctionsF:
xx5453
Fx()=−+x32+x−+5xC,oùC∈R
5232

Exemple
SoitflafonctiondéfiniesurRpar:f()xxxx=cos4−+3sin2cos
DéterminerlesprimitivesFdefsurR.
LafonctionfestcontinuesurRetelleadmetdesprimitivessurR.
D’aprèsletableaudesprimitivesusuelles,lesfonctions:
xaaacos4xx,sin2xx,cosx
admettentrespectivementpourprimitiveslesfonctions:


©GérardHirsch–Maths542
PrimitivesetintégralesCours

11
xsin4xx,−cos2xx,sinx
aa42a
LafonctionfadmetpourprimitivessurRlesfonctionsF:
13
Fx()=+++∈sin4xcos2xsinxC,oùCR
42

2.Primitiveprenantunevaleurdonnéeenunpointdonné

Théorème

SoitfunefonctioncontinuesurunintervalleI.Soitx0unréelappartenantàIety0u