高三数学2轮高效复习：思想方法之5(转化与化归)全国通用 (精品).ppt

专题五转化与化归的思想方法知识概要2.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单
的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知
的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未
知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题
的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向
简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，
数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多
元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，
函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.
3.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，
所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行
不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得
结论进行必要的验证.
4.化归与转化应遵循的基本原则：5.利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：
考题剖析［点评］本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题，
关键是要看清(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2的结构特点，可
以分解因式，而分解因式后与前面式子联系起来看，
就不难转化为一个函数问题了.

2.C［解析］由原式可以变形为，

即可以看作是动点（x,y)到点（－3,1）的距离与到定直
线x－y+3=0的距离之比为,故点M(x,y)的轨迹是双曲线.
［点评］本题如果直接对原式进行变形，是有一定的运算量，
效率也不高，但将式子转化为这种公式之后，它的
几何意义就凸现出来了，解题时要有一定的转化能力
与数形结合的能力.
3.在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为（）

A.160B.240C.360D.800
思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则
(x2+3x+2)5展开式是一个关于x的10次多项式，思路2：利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进
行计算.③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化,就只有·(x2+3x)·24中
会有x项，即240x；

④如选择x2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，
(x2+3x+2)5=(1+x)5×(2+x)5展开式中的一次项x只能由(1+x)5中
的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中
的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为
x·25+·24·x··15=160x+80x=240x，故选B.

［点评］化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知.
4.（2007·北京宣武区模拟题）某厂2006年生产利润逐月
增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造
建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，
随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率
相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润
相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）

A.m＞NB.m＜N

C.m=ND.无法确定
4.A［解析］每月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d＞0，
每月的投资额组成一个等比数列{bn}，且公比q＞1.a1=b1，且
a12=b12，比较S12与T12的大小.若直接求和，很难比较出其大小，
但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n－1）d是关于n的一次
函数，其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式
bn=a1qn－1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些
点列.在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi则S12＞
T12，即m＞N.
［点评］把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比
较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个
学生所熟悉的.在对问题的化归过程中进一步挖掘
了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使
问题直观、形象，使解答更清新.
5.若关于x的方程cos2x+4asinx+a－2=0在区间［0,π］上有
两个不同的解，则实数a的取值范围是________.解得：［解析］
∵x2+px>4x+p－3
∴(x－1)p+x2－4x+3>0
令g(p)=(x－1)p+x2－4x+3，则要使它对0≤p≤4均有

g(p)>0，只要有

∴x>3或x<－1.
［点评］在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要
地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在
解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这
在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此
路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题
中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为
主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使
问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高
维向低维转化，解题简单易行.
7.（2007·湘潭市调研题）已知二次函数f（x）=ax2+2x－2a
－1，其