第一章1.21.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一).docx

第一章导数及其应用
1.2导数的计算
1.2.1几个常用函数的导数
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

A级基础巩固
一、选择题
1．给出下列结论：
①(cosx)′＝sinx；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3)；③若y＝eq\f(1,x2)，则y′＝－eq\f(1,x)；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝eq\f(1,2x\r(x)).
其中正确的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))′＝0，所以②错误.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))′＝(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3＝eq\f(－2,x3)，所以③错误.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))′＝(－x－eq\f(1,2))′＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)－1＝eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2x\r(x))，所以④正确．
答案：B
2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－2，则a的值等于()
A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析：若a＝2，则f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，
所以f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．
答案：A
3．已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()
A．4 B．－4 C．28 D．－28
解析：因为y′＝3x2，所以点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.
所以切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
所以k＝12，b＝－16，所以k－b＝28.
答案：C
4．已知f(x)＝2x，g(x)＝lnx，则方程f(x)＋1＝g′(x)的解为()
A．1 B.eq\f(1,2) C．－1或eq\f(1,2) D．－1
解析：由g(x)＝lnx，得x>0，且g′(x)＝eq\f(1,x).
故2x＋1＝eq\f(1,x)，
即2x2＋x－1＝0，
解得x＝eq\f(1,2)或x＝－1.
又因x>0，
故x＝eq\f(1,2)，选B.
答案：B
5．曲线y＝sinx在x＝0处的切线的倾斜角是()
A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,4)
解析：由题知，y′＝cosx，所以y′|x＝0＝cos0＝1.设此切线的倾斜角为α，则tanα＝1，因为α∈[0，π)，所以α＝eq\f(π,4).
答案：D
二、填空题
6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x<0，,lnx，0<x<1，))若f′(a)＝12，则实数a的值为________．
解析：f′(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x2，x<0，,\f(1,x)，0<x<1，))若f′(a)＝12，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,\f(1,a)＝12))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,3a2＝12，))解得a＝eq\f(1,12)或a＝－2.
答案：eq\f(1,12)或－2
7．曲线y＝x3＋3x在点(1，4)处的切线方程为____________．
解析：对函数求导得到y′＝3x2＋3，当x＝1时，y′＝6，又点(1，4)在切线上，所以切线方程为y－4＝6(x－1)，即6x－y－2＝0.
答案：6x－y－2＝0
8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是________．
解析：设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0))，因为y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3xeq\o\al(2,0)，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3xeq\o\al(2,0)＝12，解得x0＝±2，故切点为(2，8)或(－2，－8)．
答案：(2，8)或(－2，－8)
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝eq\r(5,x3)；
(2)y＝eq\f(1,x4)；
(3)y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\r