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立体几何证明基础题

一．解答题（共28小题）
1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点
（1）求证：PB∥平面EFG；
（2）求证：BC⊥EG．

2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．
（1）求证DE∥PA
（2）求证：DE∥平面PAC；
（3）求证：AB⊥PB．

3．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE且CE=AC=2BD，试在AE上确定一点M，使得DM∥平面ABC．

4．如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．

5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．

6．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．

7．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC=．
（1）求证：BC∥平面AB1C1；
（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．

8．如图，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：GF∥底面ABC；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求几何体ADEBC的体积V．

9．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，
∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．

10．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠C=90°，BC=，BB1=2，O是AB1的中点，D是AC的中点，M是CC1的中点，
（1）证明：OD∥平面BB1C1C；
（2）试证：BM⊥AB1．

11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AB、PC中点，求证：EF∥面PAD．

12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：
（Ⅰ）A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．

13．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）若PA⊥平面ABCD，PA=AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．

14．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）BD⊥平面PAC．

15．如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面边长AB=1，侧棱长AA1=2．
（Ⅰ）求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BDD1B1．

16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1．

17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
（1）E，F，D，B四点共面；
（2）面AMN∥平面EFDB．

18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P是DD1的中点．
求证：（1）直线BD1∥平面PAC
（2）①求异面直线PC与AA1所成的角．
②平面PAC⊥平面BDD1．

19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中点．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；
（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．

20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点．求证：平面D1EF∥平面BDG．

21．（文科）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D