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覆盖、划分与构造

知识定位
组合几何是初中竞赛中非常重要的一个知识点，主要熟练掌握组合几个中的未划分问题、覆盖、嵌入、中心对称、面积、位置等问题。本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中组合几何中覆盖划分与构造相关问题的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理
凸集
如果对于点集M中的任意两点A、B，线段AB上每一点都属于点集M，那么M就称为凸集．（圆是凸集）
结论：任意多个凸集的交仍是凸集．
凸多边形
定义一：如果以多边形的顶点为端点的任何线段，完全包含于这个多边形中，则称此多边形为凸多边形．
定义二：如果多边形位于它任意一条边（延长线）的同侧，这样的多边形叫做凸多边形．
凸包
给定平面上ｎ个点，一定存在一个凸ｍ边形或一条线段，完全包含点．并且凸ｍ边形的ｍ个顶点（或线段的两个端点）是点集的一个子集．这样的凸ｍ边形（或一条线段）便称为点集的凸包，它由给定的点集唯一确定．
注意：与有限点集有关的角度、线段长、面积等问题，经常需要借组凸包讨论点集的几何构．
覆盖
是指两个点集，其中一个点集可以覆盖另一个点集，即：设M、N是两个点集，如果点集M中的每一个点都在点集N内，我们就说点集N覆盖点集M，否则称点集N不覆盖M．
方法：覆盖问题要求我们在对基本图形比较熟悉的基础上，善于通过试验找出解题方法，要能在图形中看出图在膨胀或收缩。

例题精讲

【题目】矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原矩形后，有交结点个，其中个点在原矩形的周界上（包括原矩形的四个顶点），其余点在矩形内部.在矩形的内部有条粘缝（两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示）试求该矩形台板所碎裂成的各种类型（指三角形、四边形、五边形等等）的碎片块数（若凸多边形的周界上有个点，就将其算作边形）.

【答案】全部碎片共块，其中，或含有个三角形，个四边形；或含有个三角形，个五边形.
【解析】解：设全部碎片中，共有三角形个，四边形个，……，边形个（为非负整数），
一个多边形，若其周界上有个顶点，就将其看成是边形，（例如图中的多边形要看成五边形）.于是这些多边形的内角和为：
.
从另一方面看，矩形内部有个结点，对于每个点，围绕它的多边形顶角和为个内结点共获得弧度；矩形边界线段内共有个结点，在每个这种结点处，各多边形的顶角在此汇合成一个平角，个这种结点共获得弧度；而原矩形的四个顶点处，共收集到多边形碎片的弧度.因此，
，于是，……eq\o\ac(○,1).
再计算边数和：由于每个边形有条边，则.
另一方面，在矩形的内部的条粘缝，每条都是两个多边形的公共边，故都计算了两遍，矩形周界上的条线段各被计算了一遍，因此，，则
……eq\o\ac(○,2).
eq\o\ac(○,2)-eq\o\ac(○,1)得，，因此碎片的块数为:
……eq\o\ac(○,3).
eq\o\ac(○,1)—eq\o\ac(○,3)得，……eq\o\ac(○,4).
注意所有为非负整数，故，……eq\o\ac(○,5).
eq\o\ac(○,5)式中，或者；或者，……eq\o\ac(○,6).
因此由eq\o\ac(○,3)、eq\o\ac(○,5)、eq\o\ac(○,6)得，本题的解共有两种情况：即全部碎片共块，其中，或含有个三角形，个四边形；或含有个三角形，个五边形.
【知识点】覆盖、划分与构造
【适用场合】当堂例题
【难度系数】5

【题目】将圆周等分于点，在以其中每三点为顶点的三角形中，求含有圆心的三角形的个数
【答案】．
【解析】解：一般地讨论圆周等分的情况，任取其中一个分点，记为，然后将其余个分点这样标志，自点后，反时针方向的连续个点依次记为；顺时针方向的连续个点依次记为；先考虑以为顶点且含有圆心的三角形，如图，显然，这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集，
而另一个属于点集．
且这种含有圆心当且仅当，，今计算合于条件的三角形个数：当时，可取值，共计个值，因此这种含有圆心的个数为，
当点取遍个位置，共得个三角形，由每个三角形有三个顶点，故每个三角形重复计算了三遍，因此，合于条件的三角形个数为

【知识点】覆盖、划分与构造
【适用场合】当堂练习
【难度系数】5

【题目】四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．

【答案】如下解析
【解析】证明：∵O为⊿ABC的外心，
∴OA=OB．
∵O1为⊿PAB的外心，
∴O1