高一数学统计学初步知识清单.pdf

统计学初步

【清单01】简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1nN）个个

体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我

们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未

进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽

样．除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样．

【清单02】简单随机抽样的方法

（1）抽签法：

把总体中的N个个体编号，把编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、

小球等）上作为号签，将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌，最后从盒中不放回

地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需的个数．

（2）随机数法：

用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编

号对应的个体进入样本．重复上述过程，直到抽足样本所需的个数．

①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数；

③用计算器生成随机数；④用电子表格软件生成随机数；⑤用R统计软件生成随机数．
【清单03】总体均值
一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，，，则称
NY1Y2…YN

YYY1N
12N为总体均值，又称总体平均数．
YYi
NNi1

如果总体的个变量值中，不同的值共有（）个，不妨记为，，，，
NkkNY1Y2…Yk

其中出现的频数（，，，），则总体均值还可以写成加权平均数的形式
Yifii=12…k

1k
．
YfiYi
Ni1
【清单04】分层抽样
（1）根据已掌握的信息，将总体分成若干部分．
n
（2）根据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比k．
N
n
（3）根据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：·N（其中N为第i层所包含的
Nii
个体总数）．

（4）按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本．
【清单05】频率分布直方图绘制步骤
①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．

②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组

数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且

组距应力求“取整”．

③将数据分组．

第i组频数
④列频率分布表．计算各小组的频率，第i组的频率是．
样本容量
频率频率
⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示，实际上就是频率分布
组距组距
直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．

【清单06】第p百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于
或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
计算第p百分位数的步骤

第1步：按从小到大排列原始数据．

第2步：计算inp%．

第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i

是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
【清单07】四分位数
常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一

组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一

四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．

【清单08】频率分布直方图中的众数、中位数、平均数

①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；

②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；

③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横

坐标之和．
方差、标准差

一组数据x1,x2,,xn，用x表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为

nnn
1212，标准差为12．
xixxix(xix)
ni1ni1ni1

【清单09】由统计信息解决实际问题

用样本的标准差、方差估计总体的方法

（1）用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实

际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差（方差）分析

稳定情况．

（2）标准差、方差的取值范围是[0,)．

（3）因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差

与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．