不等式的证明规律及重要公式总结（精选五篇）.docx

不等式的证明规律及重要公式总结（精选五篇）

第一篇：不等式的证明规律及重要公式总结不等式的证明及重要公式总结几个常应用的不等式221、ab2ab,ab(ab2)a2b2c2abbcca2222、ababab2(a,bR)1122ab3、a3b3c33abc(abc0）4、abc33abc，abc(abc3)；(a,b,cR)35、|a||b||ab||a||b|，(a,b,cR)n226、aibiaibi（柯西不等式）i1i1i1nn2法一：作差：证明方法例一：abc1，求证：a2b2c21。31的代换112222222证：左－右=(3a3b3c1)[3a3b3c(abc)]331[(ab)2(bc)2(ca)2]032a2b2cbccaab法二：作商；设a、b、cR，且abc，求证：abcabc左a2ab2bc2cabc证：bccaabaabaacbbcbbaccaccb()ab()bc()ca右abcbcaaa1,ab0()ab1bbaaab1当0∴不论a>b还是a当a>b>0时法三：公式法：例二：a>0,b>0，且a+b=1，求证：①ab1121225②(a)(b)8ab2A2B2ABA2B2AB2证①由公式：()得：2222a4b4a2b22ab2211()[()]a4b4222168A2B2AB2(AB)222()AB证②由2221111ab211[(a)(b)]2[ab](1)2（*）2ab2ab2abab211)4∵ab(24ab1252∴(*)(14)∴左第二篇：均值不等式公式总结及应用均值不等式应用a2b21.(1)若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab2ab**2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab222（当且仅当a（当且仅当ab时取“=”）b时取“=”）ab(当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab）2*23.若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）x1若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）x若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）xxxab）2(当且仅当ab时取“=”ba4.若ab0，则若ab0，则ababab）2即2或-2(当且仅当ab时取“=”bababaab2a2b25.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”）)22『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x1（2）y＝x＋2x解：(1)y＝3x2＋≥22x2113x2·2＝2x1x·＝2；x6∴值域为[6，+∞）1(2)当x＞0时，y＝x＋≥2x11当x＜0时，y＝x＋=－（－x－）≤－2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）1x·=－2x解题技巧技巧一：凑项例已知x54，求函数y4x21的最大值。4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x5511x,54x0，y4x254x323144x554x当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当解析：由时，求知，yx(82x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。232x32x9解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2222当且仅当2x技巧三：分离32x,即x33