放缩法证明不等式精选.docx

放缩法证明不等式

第一篇：放缩法证明不等式放缩法证明不等式在学习不等式时，放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在。现例析如下，供大家讨论。例1：设a、b、c是三角形的边长，求证abc≥3bcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则bca≤cab≤abc且2cab≤0，2abc≥0∴∴abcabc3111bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0bcacababccabcabcababc≥3bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放cab[评析]：本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢？这是因为2cab≤0，2abc≥0，而2bac无法判断符号，因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。例2：设a、b、c是三角形的边长，求证abc(bc)2(ca)2(ab)2≥bccaab1[(ab)2(bc)2(ca)2]3证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3abc0,3bca≥bcccabca0左式－右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0ababab≥≥[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。例3：设a、b、cR且abc1求证111≤11ab1bc1ca证明：设ax3,by3,cz3.且x、y、zR.由题意得：xyz1。∴1abxyzx3y3∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0∴x3y3≥x2yxy2∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)∴1z1≤xy(xyz)xyz1abyx11≤，≤∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理：由对称性可得[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。39例4：设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥22证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1又∵(44。∴a0。33ab23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc2343492a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)23833416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥2282893∴a2b2c2abc≥22[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。例5：设a、b、cR，pR，求证：abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc)cp2(abc)证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是左边－右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1)如果p1≥0，那么ap1bp1≥0；如果p1＜0，那么cp1bp1≥0，故有(ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0，从而原不等式得证.例6：设0≤a≤b≤c≤1，求证：abc(1a)(1b)(1c)≤1bc1ca1ab1abcabc≤，再证明以bc1ca1ab1ab1证明：设0≤a≤b≤c≤1，于是有下简单不等式abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1，因为左边(1a)(1b)(1c)ab1ab1ab111c[1(1ab)(1a)(1b)]，再注意(1ab)(1a)(1b)≤