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高等数学证明题

第一篇：高等数学证明题1.证明：函数f(x)(x2)(x3)(x4)在区间(2,4)内至少存在一点，使f()0。证明：f(x)在[2,3]上连续，在(2,3)内可导，且f(2)f(3)0，由罗尔定理，至少存在一点1(2,3)，使f(1)0，同理，至少存在一点2(3,4)，使得f(2)0；f(x)在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点(1,2)(2,4)，使得f()0。2.设f为[a,b]上的二阶可导函数，f(a)f(b)0,并存在一点c(a,b)，使得f(c)0.证明至少存在一点(a,b)，使得证明：考虑区间[a,c]，则f''()0.(10分)f在[a,c]满足Lagrange中值定理的条件，则存在1(a,c)，使得f'(1)f(c)f(a)0.(3分)caf'(2)f(b)f(c)0.(5分)bcLagrange中值定理的条件，则存在同理可证存在2(c,b),使得再考虑区间[1,2],由条件可知导函数f'(x)在[1,2]上满足(1,2)，使得f''()f(2)f(1)0.得证.213.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且证明在[a,b]内有F(x)证明在[a,b]内有F(x)f(x)0F(x)1xf(t)dtxaa00F(x)x1[(xa)f(x)f(t)dt](2分)2a(xa)=1[(xa)f(x)(xa)f()]([a,x][a,b])(2分)(xa)2xf()((,x)[a,b])xa=F(x)0(2分)1x)arctanx4.证明:当x0时,(1x)ln（令f(x)(1x)ln(1x)arctanx0时,f(x)ln(1x)1当x所以021xf(x)在(0,)上单调增(3分)又f(0)0（f(x)0即当x0时,(1x)ln(1x)arctanx(3分)5.证明：当x1时，31。x答案：证：令f(x)31，则xf(x)'22(1)，xx因为f(x)在1,连续，并且在1,内f'(x)0，因此f(x)在1,上单调增加，从而当x1时，f(x)f(1)0。这就得到3(x1)。xx2,x0.(8分)6.应用函数的单调性证明不等式：ln(1x)x2证明:令x2f(x)ln(1x)x,(2分)x2f(0)0,f'(x)0,x0.所以1x则f(x)在[0,+)上连续，在(0,+)上可导，且f(x)在[0,+)严格单调递增，故f(x)f(0)0,x0.(7分).即x2ln(1x)x,x0.(8分)7.证明：设a0na1a2an0，证明函数f（x）=a0a1xanx在（0，1）内至23n1少有一个零点。（6分）证明：法一利用定积分：假设函数f（x）=a0a1xanxn在（0，1）上没有零点则因f（x）在[0，1]上连续，姑f（x）恒为正或负————（1分）从而由定积分性质得：f(x)dx[a0x1a12a23axxnxn1]023n1=a0a1a2an23n1————（4分）为正或为负，这与假设矛盾。所以函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。#——（1分）法二利用罗尔定理设=a0F（x）=a0xa12a23axxnxn123n1，则F'(x)f（x）a1xanxn——（2分）显然F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0故由罗尔定理知，在（0，1）内至少存在一点，使F'()即0———（3分）f()0。因此，函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。#———（1分）8.证明：已知(x)af证明：(x)=af(x)，且f(x)1，证明(x)2(x)f(x)lna(x)lna2f(x)f(x)----------------------4分=2(x)lnaf(x)1----------------------3分f(x)lna=2(x)---------------------------3分9.若f(x)a1sinxaa2sin2xnsinnx，求证：存在c(0,)，使得2na1cosca2cos2cancosnc0证：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x)a1cosxa2cos2x