新课程背景下利用等效思想巧解物理问题的思考--以天体运动“双星”问题为例.docx

新课程背景下利用等效思想巧解物理问题的思考--以天体运动“双星”问题为例近年来，随着我国航空航天事业蓬勃发展以及新课程改革的逐步深化，高考对万有引力与航天问题的考查屡见不鲜，并且部分问题相对难度较大。在这些问题中，有一类比较常遇到的实际问题就是双星问题。在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间的万有引力作用下绕二者连线上的某点做周期相同的圆周运动的两颗行星或恒星，叫双星。双星问题对学生的逻辑思维能力、空间想象能力和知识运用能力要求较高，是高中物理学习过程中较难的问题。对于大部分学生来说，处理单个星体的各种问题已然是万有引力与航天板块的难点，当学生遇到两个星体构成的系统时，通常感到无从下手，即使学习了传统的解法，也很容易在具体处理过程中出错。本文尝试利用等效思想，简化双星问题的处理过程，以求帮助学生更快更准确地解决此类问题。问题情境：某双星系统中，两星体的距离恒为L，质量分别为M₁和M₂，线速度分别为V₁和V₂，角速度分别为W₁和W₂，则两个星体的质量之比和它们做圆周运动的周期为何？由万有引力定律提供向心力，可以得到两个牛顿第二定律表达式：该传统解法是许多中学教师在为学生演示双星问题解决过程中常用的方法。这种解题方法逻辑性强，原理简单，易于学生理解和掌握。但在实际操作中，学生利用这种解法解题的过程中经常会出错，主要体现在以下方面：（1）双星问题（或三星问题）学生容易出于思维定势。是高中万有引力与航天板块唯一一个星体间距不等于星体圆周运动轨道半径的情况，将万有引力定律中的星体间距直接代入圆周运动向心力公式中作轨道半径用。（2）代数式较多。双星问题中两个星体各有各的参量，学生在进行计算时容易混淆。（3）没有真正实现培养学生解决问题能力的目标。数学处理过程中需要将①②两式相比得到⑤式，又要将①②两式相加得到⑥式，学生不易长时间记忆这些操作过程，代数运算过程也有些复杂，可能会出错，就导致学生最终还是采取死记结果的方法。二、等效思想的引入为突破上述传统方法的计算难点，笔者尝试将等效思想引入双星问题，以如下情境为例：问题情境：如下图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。（a）两星球做圆周运动的周期为多少。（b）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T₁。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T₂。已知地球和月球的质量分别为59.8×10²³kg和73.5×10²¹kg。求T₂与T₁两者平方之比。在行星模型中，地球视为静止，地球和月球之间的万有引力提供月球做匀速圆周运动的向心力为：通过结果的分析可发现：1.两种模型中，结果只有1%的差别。2.在这道例题所呈现的情境中，将“地-月”视为双星系统或行星系统构建出的两个模型，计算出来的结果几乎相等，这是由于其两个星体间的质量之差悬殊，导致双星模型近似可以视为行星模型。3.双星系统中，即使两个星体间的质量之差并不大，周期与两星体总质量之间依旧满足以下关系：可以看出：双星运动中两个星体的运动周期与质量分布无关，只与总质量以及两星体间距离有关。根据以上结论，可以在解决双星问题过程中，通过分析题干及要求，在只要求求解周期或总质量的情况下，做如下等效处理：假设双星系统质量都集中在其中一个星体上，将双星系统等效为常规行星系统进行求解。虽然等效后两个星体的实际运动发生了变化，但周期或总质量的值是不会发生改变的，从而达到简化运算的目的。（1）推广一双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，双星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期如何表达？在这类问题中，自变量是双星总质量和距离，因变量是周期，故可以使用等效法，等效为质量集中分布在其中一个星体上的行星模型。此时，两个星体间的万有引力提供了质量较小星体做圆周运动的向心力，即（2）推广二双星系统是两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。某双星系统中两星之间的距离为L，两星做圆周运动的周期为T，则该双星系统对距离s（s»L）的某颗质量为m的星体的引力为多少？由于s（s»L），双星系统中两星体质量的分布和运动状态均对结果没有影响。故只需求出两星体总质量M即可，为了简化计算，可将双星系统等效为质量集中分布在其中一个星体上的行星模型。根据推广一的结果，可知综上所述，通过利用等效思想解决双