小学数学运算一致性的教学理解.docx

小学数学运算一致性的教学理解培养小学生的运算能力是历次课程改革不容回避的问题，重视发展学生的运算能力，是我国数学教学的特色所在。然而，从教材和教学的实际来看，认数始终作为运算的前提条件，不同数的认识有不同的背景和独特的方法。比如，整数（指自然数）强调计数，小数注重联系现实生活，分数强调等分事物。数的运算也有各自的算理，对整数、小数、分数的算法也进行了不同的归纳。总之，算理未能凸显数的意义和本质，算法之间也缺乏联系。《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出课程内容要进行结构化整合，把“数的认识”与“数的运算”整合为“数与运算”这一个主题，包括整数、小数、分数的认识及其四则运算。如此，沟通了数的概念与数的运算之间的关联，有助于学生从整体上理解数与运算的知识和方法，感悟数与运算之间的密切联系，体会数的运算本质上的一致性，也将促进学生数感、符号意识、运算能力、推理意识等核心素养的提升。如何理解落实这一新的要求，引导学生对运算一致性进行探索，促进学生加强知识间的相互联系和对数学本质的认识，从而使其形成更为整体而结构化的数学知识呢？笔者认为，可以从以下几个方面着手展开探索。一、数概念的一致性数量来自对事物（事件、物体）量的表达，而数正是对数量抽象化的结果。小学生所认识的数主要是整数、分数和小数，这些都是对现实世界事物数量的抽象，对它们的认识是学习数学最重要的基础。数的形成经历了一个漫长的过程，从实物符号记数到象形符号记数，再到数字符号记数。记数方法也多种多样，如采用加减法原则的罗马数字记数制、采用位值原则的阿拉伯数字记数制等。采用位值原则的十进制计数法由于只要1、2……9、0这10个数字以及计数单位就能表示任意大小的数而被普遍采用。可以说，十进制计数法是数学史上无与伦比的光辉成就。从数的构造来看，计数单位是构造数的基础，也是认数的关键，有了计数单位，同一个数字出现在不同的数位上就表示不同大小的数。认识整数时，1~9的认识比较容易，10的认识就相对比较困难。9加1是十个1，十个1是1个“十”，1个“十”如何表示呢？用1来表示就会与1个“一”相混淆，如果用太多符号表示也不方便，这时人们想到用“10”来表示。十位上的“1”表示1个“十”，个位上的“0”表示没有，是用来占位的。这样，学生能感受到十进制计数法的特点，认识到位置值的重要性以及“0”占位的必要性。随着认数的扩大，由一个一个地数到十个十个地数、百个百个地数……学生感受到记数的过程就是计数单位的创造过程，计数单位的重要性也就凸显出来了。分数的产生来源于多方面的需要，分数不仅可以比较大小，而且具有运算功能。认识分数时，分数的计数单位（也就是分数单位）同样是表示分数的关键。任何一个分数都是若干个分数单位的累加。分数单位虽有大小之分，但不是十进制，也没有明确的倍数关系，教材和教学对此都强调不够，以至于学生认识不到分数也有计数单位。小数是基于十进分数定义的，具有十进位制的特点，可以与整数一起构成一个完整的位值制系统。每一个整数或小数的大小，不仅取决于表示它的数字符号，还取决于这些数字符号所在的位置值，即它的计数单位。因此，计数单位是构造数的共同基础，整数、小数、分数都可以看作计数单位的“组装”，认识数的核心在于认识计数单位，计数单位的统领作用是数概念的一致性所在。二、运算意义的关联性数概念是运算的基础，通过运算不仅能反映引进数的价值，而且可以加深对数概念的理解。集合论是现代数学的基础，自然数的四则运算都可以基于集合的基数理论和序数理论进行定义。在基数理论中，自然数的加法的和是指两个不相交的有限集合A、B的并集C的基数；自然数的减法的差是指一个有限集合A与其子集B的差集C的基数；自然数的加法与减法的结果都可以通过数数获得，既可以数并集与差集中元素的个数，也可以在集合A的基数上继续数出b个1来，或者在集合A的基数上往回数出b个1来。“一”是最基本的计数单位，这一点小学生容易理解，小学数学教材中通常也是这样帮助学生理解加减法意义的。自然数的乘法同样可以用集合的基数来定义。两个有限集合A、B的基数分别是a、b，由A中取一个元素u，B中取一个元素v，组成一个有序数对（u、v），所有这样的有序数对构成的集合称为A和B的笛卡尔乘积集合A×B（也叫直积集合A×B），其基数就是a与b的积。在小学数学教材里，乘法是用“同数连加”的方法来定义的，其实两者可以统一起来。比如，3+3+3+3按同数连加表示成3×4或4×3，也可以表示成每排有3个○，共4排，形象地表示成一个方阵，这就形成了笛卡尔乘积集合。自然数的除法是指把有限集合C（基数c）恰好分成a个有相同基数b的子集B，记作c÷b=a。分成a个有相同基数b的子集，表明从c中连续减去a个b，所以除法又可以看作“同数连减”。小学数学教材中除法的引入通常结合分东西，“每份