一题多解的启示.doc

一道HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"数学竞赛题的一题多解一、HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E5%BC%95%E5%AD%90&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"引子北京市中学生HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"数学竞赛有着悠久的历史。近十几年来，北京市中学生HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"数学竞赛是在初二和高一两个年级进行。1990年起分为初试和复试，初试以普及为主，复试则适度提高。命题紧密结合HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%95%99%E5%AD%A6&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一。数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E8%AF%BE%E5%A4%96%E6%B4%BB%E5%8A%A8&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"课外活动。通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质。数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式。北京市十几年的数学竞赛积累了一批闪耀着HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%80%9D%E6%83%B3&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情。下面，笔者尝试通过一道北京市高一年级数学竞赛的初试题的一题多解，与读者共同享受数学智慧的灿烂阳光二、题目北京市1992年数学竞HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E8%B5%9B%E9%AB%98&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"赛高中一年级初试“二、填空题”第4题如下：4、若sin2x+cosx+a=0有实根，试确定实数a的取值范围是什么？题目短小干炼，满分8分。三、试解方程中的求知数是x，出现了x的两种HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"三角函数Sinx，Cosx.。而Sin2x=1-cos2x,好了，变一变，原方程就化成了cos2x-cosx-1-a=0①如果原方程中x有实根，则cosx就会有对应的实数，令t=cosx，这样方程①就化成了t2-t-1-a=0②因此，方程②就应该有HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"实数根，因此它的HYPERLINK"http://www.baidu.com/s?wd=%E5%88%A4%E5%88%AB%E5%BC%8F&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6"\t"_blank"判别式△=(-1)2-4(-1-a)=4a+5≥0,所以a≥-(5/4)故实数a的取值范围是a≥-(5/4)这个答案对吗？当a≥-(