高等数学——海伦公式.doc

海伦公式

初等几何的海伦公式，由于大学、中学课本配合不够，许多同学对这一公式感到陌生，现将这一公式证明如下：
海伦公式：三角形的面积

其中：、、分别是三角形的三边长，
证明（1）：由余弦定理可知：，由此得出

由可得：
，
，
，
，
因此：

由三角形面积公式即得

上述证明用到了三角函数、，若要求纯初等几何的证明，则可如下证之。
C
A
B
T
图1
T
B
A
C
图2

是△的边上的高，点为垂足。记，，，，（见上图）。
证明（2）：若△是锐角三角形（图1），则由勾股定理有

由（1）式得出，带入（2）式：
。
展开，即得，由此式解得
，
类似于证明（1），得出
，
由于三角形面积，由上式即得
。
若△是钝角三角形（图2），不失一般性，设，则由勾股定理有

类似于△是锐角三角形的情况，可得
，
因而亦得。
若△是直角三角形（图2），不失一般性，设，由勾股定理有
。

故，此时仍有。

关于海伦公式（Heron'sformula或Hero'sformula）的历史
海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作

亚历山大里亚的海伦（希腊语：ἭρωνὁἈλεξανδρεύς）（公元10年－70年），是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenisticcivilization）科学传统方面享负盛名。
HYPERLINK"http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%9B%BD"\o"中国"我国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为，中斜记为，小斜记为，秦九韶的方法即相当于海伦公式。