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复变函数教学大纲
说明
《复变函数》是高等院校数学与应用数学专业及信息专业的一门重要基础课，它的理论和方法对于其它专业学科，如物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用，通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些有关理论和实际问题的能力。
本大纲根据武汉大学出版社出版的“面向21世纪本科生教材”《复变函数》（路见可、钟寿国、刘士强主编）编写而成。本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法,例如，对复积分强调以Cauchy定理为基础，Cauchy型积分为工具，略去多值函数的积分问题等等。某些加*号的内容，教师可根据实际情况适当取舍，某些注有*号的定理，可只述而不证，或略去不讲。
本课程教学总时数为68学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致为3：1。
本大纲所列内容的顺序和括号内的学时数仅供参考，教师可适当调整。教学内容安排上可根据实际情况做适当调整。
大纲内容和要求
第一章复数和复函数（4学时）
一、内容介绍
1、复数域、复数的几何表示、球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面
2、复变函数，极限与连续，同伦概念、区域的连通性，辐角函数
3、复数列与复级数，复函数列和复函数项级数
二、重点、难点内容：
1、重点：区域的连通性，同伦概念。
2、难点：复球面，同伦概念，扩充复平面上区域的连通性。
三、教学基本要求：
1、了解内容：球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面。
2、基本掌握：复数域、复数的几何表示、复变函数，极限与连续、复数列与复级数、复函数列和复函数项级数、同伦概念。
3、熟练掌握：区域的连通性，辐角函数。
四、教学建议：由于学生在代数课程里对复数理论已有所学习，这里复数理论不求完整，只作简要复习。
第二章解析函数基础（13学时）
一、内容介绍
1、导数的定义，Cauchy-Riemann条件，可导的充要条件、导数时的几何意义（等伸长性、保角性、保形性）.
2、解析函数的概念,复函数在D上解析的充分必要条件.
3、单值函数（多项式函数、有理函数、指数函数、三角函数和双曲函数）的解析性。
4、多值函数（对数函数、幂函数和根式函数）的解析性。
5、初等多值函数的单值分枝问题。
6、有理函数的对数的解析分枝的讨论。
7、有理函数的方根的解析分枝的讨论。
8、反三角函数和反双曲函数解析分枝的简介。
二、重点、难点内容：
1、重点：解析函数的概念、导数时的几何意义、初等多值函数的分枝问题
2、难点：解析函数的概念、初等多值函数的分枝问题。
三、教学基本要求：
1、了解内容：反三角函数和反双曲函数解析分枝。
2、基本掌握：导数时的几何意义、初等多值函数的分枝问题、多项式和有理函数、指数函数、三角函数和双曲函数的解析性。
3、熟练掌握：Cauchy-Riemann条件、解析函数的概念、复函数在D上解析的充分必要条件、有理函数的对数的解析分枝、有理函数的方根的解析分枝。
四、教学建议：对多值函数的分枝问题应加强，由于反三角函数和反双曲函数解析分枝问题比较复杂，建议根据概念和理论只作简要说明。
第三章复积分（10学时）
一、内容介绍
1、复积分的概念：定义、利用定义计算、复积分的基本性质。
2、基本定理：Cauchy定理（定理3.1）、单连通域上的Cauchy定理（定理3.2）及其推广（定理3.3）、多连通区域上的Cauchy定理（定理3.4）、原函数。
3、基本公式：Cauchy积分公式、Cauchy型积分的概念、Cauchy导数公式，无穷可微性、Cauchy不等式、Morera定理。
4、反常复积分：反常复积分的定义、Cauchy主值积分、高阶奇异积分。
二、重点、难点内容：
1、重点：基本定理、原函数、Cauchy积分公式、Cauchy型积分的概念、Cauchy导数公式，无穷可微性、Cauchy不等式、Morera定理。
2、难点：Cauchy积分公式、Cauchy导数公式，无穷可微性、Cauchy不等式、Morera定理及应用。
三、教学基本要求：
1、了解内容：反常复积分的定义、Cauchy主值积分、高阶奇异积分。
2、基本掌握：Cauchy不等式、Morera定理。
4、熟练掌握：基本定理、原函数、Cauchy积分公式、Cauchy型积分的概念、Cauchy导数公式，无穷可微性。
四、教学建议：由于Cauchy积分定理（定理3.1）的证明较为复杂及课时限制，建议只作证明思路的分析和说明。对多值函数的积分、反常复积分的定义、Cauchy主值积分、高阶奇异积分在课时允许的情况下可酌情处理。
第四章解析函数的级数理论（13学时）
一、内容介绍
1、一般理论：复函数项级数的逐项积分和逐项求导、复幂级数及其和函数（收敛半径、收敛域及其和函数的性质）。
2、泰勒展式及惟一性定理：解析函数的