第14讲 立体几何中的有关计算.doc

14数学高考综合能力题选讲
立体几何中的有关计算梁丽平北京中国人民大学附中100080

题型预测
立体几何中的计算主要是求角和距离．其中二面角的平面角和点到平面的距离（体积）常常作为考查的重点．
范例选讲
D1DABCABCD，长方体中，例11BCABC
11111B1A2AABB中点．，是侧棱E111EADAA与平面1（）求直线所成角的大小；111EBACE2）求二面角的大小；（DC1EACD（3）求三棱锥的体积．AB11
）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作：（1讲解EAD正为所求．出面的一条垂线．不难发现，AE11AAE面ACDDA面ABBABBAABCDB所以，知：，又，由长方体1111111111AEDA．112EAEA2AAABBABB，为中，，中点且，在矩形所以，1ABE11111AEAAEEA．所以，为等腰直角三角形，11EAD所以，面．AE11EAAAEDAA与平面就是直线．所成的角，为所以，451111）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条2（垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出．

面意到以，，所注CCAB面BB11D1C
内过点，所以，只需在BBCCABC面BBCC面E1111111，则面．作于FABCBCEFEF1G就是二EG，则于过作G，连ACFGEGFFED面角的平面角．BEACC1AS2BCEBB5EBC11中，在，EBCEF115BCBC115322FCCEEF所以，．11530AB中，在．ABCFCGCFFGCFsin111110AC16EFEGFtan中，．在EFGRt3FG6arctanBEAC的平面角的大小为．所以，二面角13EDAC到平面）中已经求出了点）要求三棱锥的体积，注意到（2（3E11DAC．所以，的距离EF11111．CDEFSVVEFAD11ACDEACEACDD636111111另一方面，也可以利用等积转化．EDE面C面AB//DCCD的距离就．所以，点A因为到平，所以，//AB111111ED面C的距离．所以，等于点到平B11111CBDCSVVDVCEB．11EBCEDEDCABCDEBC11116631111111
：求角的一般方法是：先作出所求角，然后再解三角形．利用三垂线定点评理作出二面角的平面角是很常用的方法．

侧棱中，如图：三棱台例2CCBCABCAC11111
1，，⊥底面，aa,BC2ACACB120ABC，直线与所成的角等于60°．CCABaBC111C）求二面角的大小；（1BBAC1BA的距离．）求点到平面（2ACBB1
与无论从已知（直线讲解CCAB11C1°）的角度还是从所求所成的角等于60
BA11作（二面角）的角度，过BBACB11的平行线都是当然之举．CC1HE作中，在平面过CBD//CBCCBB11111CD就是交于点，连接，则ADBCBADD1BA，以角．所的直线与所成CCAB1160ADB．1DBCC．又因为⊥底面，所以，⊥底面ABCABC11ACBBBEDEE所以，，，则，内过点在平面作于连ACDEABCED111BBAC的平面角．就是二面角122中，在．a3120ACCD2ACCDcosADACDa60ADABDBDcot在Rt中，．113aCEsin60DERt在中，．CED2a23DEB．中，在RtEDtanB1133a2．

32arctan所以，二面角．的平面角的大小为：BACB13的D到平面的距离等于点到平面2）由为中点，故点B（ACBACBBCD11，）知，所以，．由（2倍，作于H1距离的EDACDHBE面BDHAC11的距离．，所以，所以，就是点D到平面ACDH面BACBDH11DBDEDBDE2111aDH．Rt中，在DEB17EB22DBDE11212aACB所以，点B到平面．的距离等于17另外，我们也可以用体积法求出这个距离．VVACB设点B到平面．则由及的距离为hACBBACBB11131113，aACBCsinACBBDVSBD11ABCBACB62331711222aACEDSBDEACB可得：1ACB142213a33V32126ACBBa．h17S2a7ACB14212aACB的距离等于到平面所以，点B．17
等积变形是求体积和求距离时常用的方法．点评

高考真题A'
C'－ABC1．（1998年全国高考）已