一阶倒立摆控制系统设计.doc

倒立摆课程设计报告
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课程设计说明书

课程名称:控制系统课程设计
设计题目：一阶倒立摆控制器设计
院系：信息与电气工程学院
班级:
设计者：
学号:
指导教师：
设计时间:2013年2月25日到2013年3月8号

课程设计（论文）任务书

专业自动化班级0902101学生指导教师题目一阶倒立摆课程设计子题设计时间2013年2月25日至2013年3月8日共2周设计要求设计（论文）的任务和基本要求，包括设计任务、查阅文献、方案设计、说明书（计算、图纸、撰写内容及规范等）、工作量等内容.

1．建立一阶倒立摆数学模型
2．做模型仿真试验
（1）给出Matlab仿真程序.
（2)给出仿真结果和响应曲线。
3．倒立摆系统的PID控制算法设计
设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为:
（1）稳定时间小于5秒
（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度
并作PID控制算法的MATLAB仿真
4．倒立摆系统的最优控制算法设计
用状态空间法设计控制器,使得当在小车上施加0。2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：
（1)摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒
(2)的上升时间小于1秒
（3）的超调量小于20度(0。35弧度）
（4）稳态误差小于2％。
指导教师签字：系（教研室）主任签字：
2013年3月5日目录

TOC\o”1—3”\h\uHYPERLINK\l_Toc12765一、建立一阶倒立摆数学模型 PAGEREF_Toc127654
HYPERLINK\l_Toc219291.一阶倒立摆的微分方程模型 PAGEREF_Toc219294
HYPERLINK\l_Toc246532.一阶倒立摆的传递函数模型 PAGEREF_Toc246536
HYPERLINK\l_Toc312223。一阶倒立摆的状态空间模型 PAGEREF_Toc312227
HYPERLINK\l_Toc11183二、一阶倒立摆matlab仿真 PAGEREF_Toc111839
HYPERLINK\l_Toc22553三、倒立摆系统的PID控制算法设计 PAGEREF_Toc2255313
HYPERLINK\l_Toc5388四、倒立摆系统的最优控制算法设计 PAGEREF_Toc538823
HYPERLINK\l_Toc17103五、总结 PAGEREF_Toc1710328
HYPERLINK\l_Toc18976六、参考文献 PAGEREF_Toc1897629

建立一阶倒立摆数学模型
首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

系统内部各相关参数定义如下：
M小车质量
m摆杆质量
b小车摩擦系数
l摆杆转动轴心到杆质心的长度
I摆杆惯量
F加在小车上的力
x小车位置
φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下)
一阶倒立摆的微分方程模型
对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图SEQ图\*ARABIC1-2小车及摆杆受力图

分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程：
（1-1）
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
（1—2）
即：
（1—3）

把这个等式代入式(1—1）中，就得到系统的第一个运动方程：

(1—4)

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
(1—5）
即：
(1-6）

力矩平衡方程如下：
（1-7)
由于所以等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程:
（1-8）

设，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角）,假设φ<〈1弧度，则可以进行近似处理:。用u代表被控对象的输入力F，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：
（1-9）

一阶倒立摆的传递函数模型
对式（1—9）进行拉普拉斯变换,得：
（2-1）

注意:推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：
（2-2）

或
（2-3）

如果令QUOTE，则有:
（2-4）

（2-5）
把上式代入方程组（2—1）的第二个方程，得：

整理后得到传递函数：
（2-6）

其中。
一阶倒立摆的状态空间模型
设系统状态空间方程为：
（3-1）

方程组(2—9）对解代数方程,得到解如下：
（3-1）

整理后得到系统状态空间方程：