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专题7强化提高
知识要点
本章知识框图：
典例精析
例1如图7－2，点P是正三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若△PAP′也是正三角形，求BP′的长和∠APB的度数．
【分析】利用图中两个等边三角形的条件，我们可以发现图中“手拉手”全等模型，利用全等完成边长条件的转化，从而利用勾股定理逆定理证明△PBP′是直角三角形．
【解】∵△ABC和△PAP′都是正三角形，
∴PP′＝AP′＝AP＝6，AB＝AC，∠P′PA＝∠P′AP＝∠BAC＝60°．
∴∠P′AB＋∠BAP＝∠BAP＋∠PAC．∴∠P′AB＝∠PAC．
∴△P′AB≌△PAC．∴P′B＝PC＝10．∴PP′2＋PB2＝P′B2．
∴△P′PB是直角三角形，∠P′PB＝90°．
∴∠APB＝∠P′PA＋∠P′PB＝150°．
【点评】勾股定理与特殊三角形有紧密的联系，我们需要懂得使用勾股定理以及逆定理找到问题中关键的直角三角形．
拓展与变式1如图7－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，P′是△ABC外的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3．若△PBC≌△P′AC，求∠BPC的度数．
拓展与变式2如图7－4，若点P是正三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
拓展与变式3如图7－5，等边△ABC的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作等边△CEF，连接BF并延长至点N，M为BN上一点，且CM＝CN＝5，则MN的长为________．
【反思】勾股定理与特殊三角形结合的综合性问题题目多样，但处理的方法却基本遵循一个道理，就是根据条件构造正确的直角三角形．
例2如图7－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【分析】动态几何问题在处理的过程中需要明确动中“不变”的量，比如线段的表示是否会发生改变，角度的大小是否会随着运动而变化，在运动中是否有可能出现特殊的三角形等．根据要求具体分析，是有序有效地处理动态几何的策略．
【解】（1）∵点D，E运动的时间是ts，∴AE＝t，CD＝2t．
∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°．∵∠C＝30°，∴DF＝DC＝t．∴AE＝DF．
（2）∵∠C＝30°，∠B＝90°，∴AC＝2AB．设AB＝x，AC＝2x．
∵AC2＝AB2＋BC2，∴4x2＝x2＋（5）2，x＝5．∴AB＝5，AC＝10．
分三种类型讨论：①当∠EDF＝90°时，如图7－7，∵∠B＝∠DFB＝90°，
∴∠AED＝∠DEB＝90°．∴DE∥BC．∴∠ADE＝∠C＝30°．
∴AD＝2AE＝2t．∵AD＋CD＝AC，∴2t＋2t＝10，t＝2.5．
②当∠DEF＝90°时，如图7－8，∵∠DFC＝∠B＝90°，∴AE∥DF．
∴∠AED＝∠EDF．∵AE＝DF，ED＝ED，∴△AED≌△FDE．
∴∠ADE＝∠DEF＝90°．∴∠AED＝30°．∴AE＝2AD，∴t＝2（10－2t）．∴t＝4．
③当∠DFE＝90°时，点E与点B重合，点F也与点B重合，这种情况不存在．
综上所述，当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形．
【点评】动态几何问题往往需要分类讨论，画出正确的示意图是解决问题的关键．
拓展与变式4如图7－9，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P，Q分别为AB，BC边上的动点，点P从点A开始沿A向B方向运动，且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B向C方向运动，且速度为每秒1cm．它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）出发2s后，求PQ的长；
（2）出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？
拓展与变式5如图7－10，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，AD⊥BC于点D，动点M从点A出发以每秒1cm的速度在线段AD上向终点D运动，动点P从点D出发以每秒2cm的速度在射线BC上运动．点M与点P同时出发，设动点运动时间为ts．
（1）求AD的长；
（2）用含t的式子表示PD与MD的长；
（3）当点M运动到终点D时，点P也停止运动．问是否存在t，使得△PMD的面积S△PMD等于36cm2？若存在，请求出t的值，并在这个时刻的CD上找一点Q，使得△QPM是以PM为底的等腰三角形，求出此时QD的长．
【反思】涉及动态几何中求长度或运动时间的问题，一定要画出正确的示意图，这是启发思路