第四章：幂函数、指数函数和对数函数知识归纳与题型突破（24类题型清单）（解析版）.docx

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第四章：幂函数、指数函数和对数函数

知识点1实数指数幂
1、有理数指数幂
（1）n次方根的定义与性质
=1\*GB3①定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且．
=2\*GB3②n次方根的表示：
当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；
当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在；
负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；
0的任何次方根都是0，记作．
（2）根式的定义与性质
=1\*GB3①定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
=2\*GB3②性质：（，且）：a；
（3）分数指数幂
=1\*GB3①正分数指数幂：规定：
=2\*GB3②负分数指数幂：规定：
=3\*GB3③性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
（4）有理数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
2、无理数指数幂
（1）无理数指数幂的概念：它是一个确定的实数，它是有理数指数幂无限逼近的结果．定义了无理数指数幂后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
（2）定义：给定任意正数，对任意实数，的次幂，叫作底数，叫作指数．
（3）幂运算基本不等式
=1\*GB3①对任意的正数和正数，若，则；若，则；
=2\*GB3②对任意的负数和正数，若，则；若，则．

知识点2幂函数
1、幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（2）幂函数的特征：=1\*GB3①xα的系数是1；=2\*GB3②xα的底数x是自变量；=3\*GB3③xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
2、常见幂函数的图象与性质

函数定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在上递增，在上递减增函数增函数在和上递减过定点点3、一般幂函数的图象与性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，
在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，
当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

知识点3指数函数
1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是，是指数函数的底数．
2、指数爆炸、指数增长与指数衰减
（1）指数爆炸：当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸．
（2）指数增长：在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长．
（3）指数衰减：当底数满足时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减．指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量．
3、指数函数的图象与性质
1、指数函数的图象与性质
图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数4、指数函数的底数对图象的影响
函数，，和，，的图象如图所示．

（1）当且时，底数越大，图象越“陡”；
当且时，底数越小，图象越“陡”．
（2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”．

知识点4对数
1、对数的概念
（1）对数的概念：如果（且），那么数叫做以为底N的对数，记作，其中叫作对数的底数，N叫作对数的真数．
（2）对数与底数的关系
=1\*GB3①；
=2\*GB3②；
=3\*GB3③底的对数为1，即；1的对数为0，即．
（3）常用对数与自然对数
名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数自然对数以无理数为底的对数称为自然对数2、对数运算法则：,且，
（1）；
（2）；
（3）
3、对数的换底公式
（1）换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
（2）可用换底公式证明以下结论：
①；②；③；
④；⑤.

知识点5对数函数
1、对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
2、对数函数的图象与性质
a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数