第十编 计数道理 10.2.ppt

§10.2排列与组合

要点梳理
1.排列
（1）排列的定义：从n个的元素中取出m(m
≤n)个元素，按照一定的排成一列，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数的定义：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的的个数叫做从n个
不同的元素中取出m个元素的排列数，用A表示.（3）排列数公式：A=.
（4）全排列：n个不同的元素全部取出的，叫
做n个不同元素的一个全排列，A=n·(n-1）·
（n-2）·…·2·1=.于是排列数公式写成阶乘
的形式为，这里规定0！=.
2.组合
（1）组合的定义：从n个的元素中取出m（m≤
n）个元素为叫做从n个不同的元素中取出
m（m≤n）个元素的一个组合.（2）组合数的定义：从n个不同的元素中取出m（m
≤n）个元素的的个数，叫做从n个
不同的元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，用
C表示.
（3）组合数的计算公式：=
，由于0！=，所以
C=.
（4）组合数的性质：①C=；②C=
+.基础自测
1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 （ ）
A.9个 B.24个 C.36个 D.54个
解析选出符合题意的三个数有=9种方法，每三个数可排成=6个三位数，
∴共有9×6=54个符合题意的三位数.2.已知{1，2}X{1,2,3,4,5}，满足这个关系式
的集合X共有 （ ）
A.2个 B.6个 C.4个 D.8个
解析由题意知集合X中的元素1，2必取，另外，
从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个.
故有=8（个）.3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥
运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，
则不同的选派方案共有 （）
A.25种 B.35种 C.840种 D.820种
解析若选男生甲，则有=10种不同的选法；同
理，选女生乙也有10种不同的选法；两人都不选有
=5种不同的选法，所以共有25种不同的选派方案.4.（2009·湖南理，5）从10名大学毕业生中选3人
担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没
有入选的不同选法的种数为 （ ）
A.85 B.56 C.49 D.28
解析丙不入选的选法有=84（种）,
甲乙丙都不入选的选法有=35（种）.
所以甲、乙至少有一人入选，而丙不入选的选法
有84-35=49种.5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）
A.36种 B.48种 C.72种 D.96种
解析恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第
三个空位不相邻，先排三个人，然后插空.从而共
·=72种排法.题型一排列问题
【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选其中5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻；
（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.思维启迪无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法.
解（1）从7个人中选5个人来排列，
有=7×6×5×4×3=2520种.
（2）分两步完成，先选3人排在前排，有种方法，余下4人排在后排，有种方法，故共有
·=5040种.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.（3）（优先法）
方法一甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其
余6人有种方法，故共有5×=3600种.
方法二排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非
甲的6个人中选2个排列，有种方法，中间5个位
置由余下4人和甲进行全排列有种方法，共有
×=3600种.
（4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生
在一起进行全排列，有种方法，再将4名女生进
行全排列,也有种方法,故共有=576种.（5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，
所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首
尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方
法，故共有×=1440种.
（6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先
排甲、乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3
人排到中间，有种方法，最后把甲、乙及中间3
人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方
法，故共有··=720种.
探究提高排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先