（小学中学试题）四川省绵阳市高三数学下学期第三次诊断(pdf)(理).pdf

绵阳市高2015级第三次诊断性考试
数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
ABBCCACBDDBA
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
2565
13．1614．215．16．3
812
三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（Ⅰ）由已知a1an=S1+Sn，可得
2
当n=1时，a1=a1+a1，可解得a1=0，或a1=2，……………………………1分

当n≥2时，由已知可得a1an-1=S1+Sn-1，

两式相减得a1(an-an-1)=an．……………………………………………………3分

若a1=0，则an=0，此时数列{an}的通项公式为an=0．……………………4分

若a1=2，则2(an-an-1)=an，化简得an=2an-1，
n
即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2．
n
∴综上所述，数列{an}的通项公式为an=0或an=2．………………………6分
n
（Ⅱ）因为an>0，故an=2．

an
设bn=log，则bn=n-5，显然{bn}是等差数列，…………………………8分
232
由n-5≥0解得n≥5，…………………………………………………………10分
（540）
∴当n=4或n=5时，Tn最小，最小值为T5==-10．……………12分
2
1
18．解：（Ⅰ）由题得P(270≤X≤310)=0.25=，
4
设在未来3年里，河流的污水排放量X∈[270，310)的年数为Y，

则Y~B(3，)．…………………………………………………………………2分

设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量X∈”为事件A，
33127
则P(A)=P(Y=0)+P(Y=1)=C0()3C1()2．
3434432
27
∴在未来3年里，至多1年污水排放量X∈的概率为．……5分
32
（Ⅱ）方案二好，理由如下：………………………………………………6分
由题得P(230≤X≤270)=0.74，P(310≤X≤350)=0.01．…………………7分

用S1，S2，S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失．

则S1=3.8万元．………………………………………………………………8分

S2的分布列为：

S2262
P0.990.01

E(S2)=2×0.99+62×0.01=2.6．………………………………………………10分
数学（理工类）答案（）
S3的分布列为：
S301060
P0.740.250.01

E(S3)=0×0.74+10×0.25+60×0.01=3.1．
∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好．………12分
19．解：（Ⅰ）在菱形ABCD中，AB//CD，
∵CD面CDPN，AB面CDPN，
∴AB//面CDPN．………………………………………………………………3分
又AB面ABPN，面ABPN∩面CDPN=PN，
∴AB//PN．………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）作CD的中点M，则由题意知AM⊥AB，
∵PA⊥面ABCD，z
PN
∴PA⊥AB，PA⊥AM．
如图，以A点为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2，y
DMC
则B(2，0，0)，C(1，3，0)，D(-1，，0)，
，，，
N(002)ABx
∴BD=(-3，，0)，DN=(1，-，2)，CD=(-2，0，0)．…………7分

设平面BDN的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，

3x13y10，
则由n1•=0，n1•=0，得
x13y12z10，

令x1=1，则y1=，z1=1，即n1=(1，，1)，…………………………9分

同理，设平面DNC的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)，

x23y22z20，
由n2•=0，n2•=0，得
2x20，
3
令z2=1，则y2=，x2=0，即n2=(0，，1)，…………………………11分
2

nn1235
∴cos<n1，n2>==，
nn127

即二面角B-DN-C的余弦值为．………………………………………12分

c2y2b2
20．解：（Ⅰ）设F(c，0)，由题意可得1，即yM=．
a2b2a
2
∵OH是△F1F2M的中位线，且OH=，
4

224
∴|MF2|=，即=，整理得a=2b．①…………………………2分
2

又由题知，当Q在椭圆E的上顶点时，△F1F2Q的面积最大，

数学（理工类）答案（）
1222
∴2cb1，整理得bc=1，即b(a-b)=1，②…………………………4分
2
联立①②可得2b