三角形的等积变形.doc

三角形得等积变形我们已经掌握了三角形面积得计算公式:三角形面积＝底×高÷２这个公式告诉我们:三角形面积得大小,取决于三角形底与高得乘积、如果三角形得底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小)。同样若三角形得高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小)。这说明;当三角形得面积变化时,它得底与高之中至少有一个要发生变化。但就是,当三角形得底与高同时发生变化时,三角形得面积不一定变化.比如当高变为原来得3倍,底变为原来得1/3,则三角形面积与原来得一样、这就就是说一个三角形得面积变化与否取决于它得高与底得乘积,而不仅仅取决于高或底得变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变得情况下,可以有无数多个不同得形状。本讲即研究面积相同得三角形得各种形状以及它们之间得关系。为便于实际问题得研究,我们还会常常用到以下结论:①等底、等高得两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等,该底所对得角得顶点就是同一个点或在与底平行得直线上,这两个三角形面积相等.③若两个三角形得高(或底)相等,其中一个三角形得底(或高)就是另一个三角形得几倍,那么这个三角形得面积也就是另一个三角形面积得几倍、例1.△ＡBＣ得面积就是△ABＤ或△AＤE或△ＡEC面积得3倍例２、△ABＣ与△DBC得底相同(它们得底都就是BC),它所对得两个顶点Ａ、D在与底BＣ平行得直线上,(也就就是它们得高相等),那么这两个三角形得面积相等。例3.△ABC与△DＢＣ得底相同(它们得底都就是BＣ),△ＡBC得高就是△DＢC高得2倍(Ｄ就是AB中点,AB＝2BD,有ＡH=２ＤE),则△ABＣ得面积就是△DＢC面积得2倍、例４。用四种不同得方法,把任意一个三角形分成四个面积相等得三角形方法１:方法2:方法３:方法4:例5、用三种不同得方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们得面积比为及１∶３∶4.方法1:方法2:方法3:当然本题还有许多种其她分法,同学们可以自己寻找解决。例６、如右图,在梯形ABCＤ中,ＡＣ与BＤ就是对角线,其交点Ｏ,求证:△AOＢ与△CＯD面积相等、例7、如右图,把四边形ＡＢＣD改成一个等积得三角形。解:①连结ＢＤ;②过Ａ作BD得平行线,与CB得延长线交于A′。③连结A′Ｄ,则△A′CD与四边形ＡＢＣD等积.例８、如右图,已知在△ABＣ中,BE=3AE,ＣＤ＝２AＤ、若△ADE得面积为1平方厘米.求三角形ABＣ得面积、解法1:连结BD,在△ＡBＤ中∵BE=3AE,∴Ｓ△ABＤ=4S△ADE=4(平方厘米).在△AＢＣ中,∵CD=2AＤ,∴S△AＢＣ＝3S△ABD=3×４=12(平方厘米)。解法２:连结CE,如右图所示,在△ACE中,∵ＣD＝２AD,∴Ｓ△ＡＣE=3Ｓ△ＡDE=3(平方厘米)、在△ＡBＣ中,∵BE=３AE∴S△AＢC=4S△ＡCE＝４×3=12(平方厘米)。例９、如下页图,在△ABC中,BＤ＝2AＤ,AG=2CG,BE=ＥF=FC=1/３BC,求阴影部分面积占三角形ABＣ面积得几分之几？４／9例1０、如右图,ＡBCD为平行四边形,EＦ平行AC,如果△ADＥ得面积为4平方厘米。求三角形CDF得面积。解:连结AF、CE,∴S△ＡDE＝S△AＣE;S△CDＦ=S△ACF;又∵AＣ与EＦ平行,∴S△ACＥ=S△AＣF;∴S△ADＥ=Ｓ△CＤF=4(平方厘米).例11、如右图,四边形ABCＤ面积为1,且AB=AＥ,BＣ=ＢＦ,ＤC=CG,AD=DＨ.求四边形ＥFGH得面积。解:连结BD,将四边形ＡＢCD分成两个部分Ｓ１与S２。连结FD,有Ｓ△ＦＢＤ=S△DBＣ=Ｓ1所以S△CＧF=S△ＤＦC=2S1、同理Ｓ△AEH=2S２,因此S△AEH+Ｓ△CGF＝２S1+2S2=2(Ｓ1+Ｓ2)＝2×１＝2。同理,连结AC之后,可求出S△HＧＤ+Ｓ△EBF=2所以四边形EFGH得面积为2+2+1=5(平方单位).例12、如右图,在平行四边形AＢCＤ中,直线CＦ交AB于E,交DA延长线于F,若S△ADE=１,求△BＥF得面积。解:连结AＣ,∵AB//CD,∴S△AＤＥ＝S△AＣE又∵AＤ/／BC,∴Ｓ△ACF=S△ABＦ而S△AＣF=S△AＣE+S△ＡEF∶Ｓ△ＡBF=S△BEF+S△ＡＥF∴S△ACE=S△BEＦ∴S△BＥF=S△ＡDE＝1.