韦达定理应用(资料).docx

韦达定理得应用一、典型例题例1:已知关于x得方程2x－(m＋1)x＋1－m=0得一个根为4,求另一个根。解:设另一个根为x1,则相加,得x例2:已知方程x－5x＋8=0得两根为x1,x2,求作一个新得一元二次方程,使它得两根分别为与、解:∵又∴代入得,∴新方程为例3:判断就是不就是方程9x－10x－2=0得一个实数根？解:∵二次实数方程实根共轭,∴若就是,则另一根为∴,。∴以为根得一元二次方程即为、例4:解方程组解:设∴、∴A=5、∴x-y=5又xy=-6、∴解方程组∴可解得例5:已知RtABC中,两直角边长为方程x－(2m＋7)x＋4m(m－2)=0得两根,且斜边长为13,求S得值解:不妨设斜边为C=13,两条直角边为a,b,则2。又a,b为方程两根。∴ab=4m(m-2)∴S但a,b为实数且∴∴∴m=5或6当m=6时,∴m=5∴S、例6:M为何值时,方程8x－(m－1)x＋m－7=0得两根均为正数②均为负数③一个正数,一个负数④一根为零⑤互为倒数解:①∵∴m>7②∵∴不存在这样得情况。③∴m<7④∴m=7⑤∴m=15、但使∴不存在这种情况【模拟试题】(答题时间:30分钟)1、设n为方程x＋mx＋n=0(n≠0)得一个根,则m＋n等于2、已知方程x＋px－q=0得一个根为－2＋,可求得p=,q=3、若方程x＋mx＋4=0得两根之差得平方为48,则m得值为()A.±8B.8C、－8D、±44、已知两个数得与比a少5,这两个数得积比a多3,则a为何值时,这两个数相等？5、已知方程(a＋3)x＋1=ax有负数根,求a得取值范围。6、已知方程组得两组解分别为,,求代数式a1b2+a2b1得值。7、ABC中,AB=AC,A,B,C得对边分别为a,b,c,已知a=3,b与c就是关于x得方程x＋mx＋2－m=0得两个实数根,求ABC得周长。【试题答案】1、－12、4,13、A4、a=1或135、－3≤a≤－2提示:分a=－3以及a≠－3讨论求解6、13例1已知p＋q＝198,求方程x2＋px＋q＝0得整数根.(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)解:设方程得两整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得x1＋x2＝－p,x1x2＝q.于就是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198,即x1x2－x1－x2＋1＝199.∴(x1－1)(x2－1)＝199.注意到x1－1、x2－1均为整数,解得x1＝2,x2＝200;x1＝－198,x2＝0.例2已知关于x得方程x2－(12－m)x＋m－1＝0得两个根都就是正整数,求m得值.解:设方程得两个正整数根为x1、x2,且不妨设x1≤x2.由韦达定理得x1＋x2＝12－m,x1x2＝m－1.于就是x1x2＋x1＋x2＝11,即(x1＋1)(x2＋1)＝12.∵x1、x2为正整数,解得x1＝1,x2＝5;x1＝2,x2＝3.故有m＝6或7.例3求实数k,使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0得根都就是整数.解:若k＝0,得x＝1,即k＝0符合要求.若k≠0,设二次方程得两个整数根为x1、x2,由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2,(x1－1)(x2－1)＝3.因为x1－1、x2－1均为整数,所以例4已知二次函数y＝－x2＋px＋q得图像与x轴交于(α,0)、(β,0)两点,且α＞1＞β,求证:p＋q＞1.(’97四川省初中数学竞赛试题)证明:由题意,可知方程－x2＋px＋q＝0得两根为α、β.由韦达定理得α＋β＝p,αβ＝－q.于就是p＋q＝α＋β－αβ,＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β).一元二次方程根得判别式、判别式与根得个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1、掌握一元二次方程根得判别式,会判断常数系数一元二次方程根得情况。对含有字母系数得由一元二次方程,会根据字母得取值范围判断根得情况,也会根据根得情况确定字母得取值范围;2、掌握韦达定理及其简单得应用;3、会在实数范围内把二次三项式分解因式;4、会应用一元二次方程得根得判别式与韦达定理分析解决一些简单得综合性问题。内容分析1、一元二次方程得根得判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)得根得判别式△＝b2-4ac△＞0时,方程有两个不相等得实数根当△＝0时,方程有两个相等得实数根,当△＜0时,方程没有实数根.2、一元二次方程得根与系数得关系(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)得两个根就是x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a(2)如果方程x2+px+q=0得两个根就是x1,x2,那么x1+x2=-P,x1x2=q(3)以x1,x2为根得一元二次方程(二次项系数为1)就是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.3、二次三项式得因式分解(公式法)在