高等电磁场-电动力学课后习题答案.doc

第2讲场论基础(2)2-1证明修正矢量Green定量证明:(主要公式:;)证毕、2-2证明证明:一种理解:严格证明(直角坐标系):设,左边:=右边:=+====左边证毕、2-3证明证明:如右图,设场在曲线与曲面上就是良性得。把S分成n个小块,设第m块得面积为,边界为,设点在上。由旋度得原始定义,因此有:叠加所有得小块,则上式右边得第一项由于叠加过程中相邻小块得公共边界上得积分相互抵消,因此只剩下不就是公共边界曲线得积分,即:当,则:另外,由于当,故因此,。证毕、第4讲Maxwell方程(2)4-2证明边界条件:与hSn媒质1媒质2媒质界面证明:(1)、利用由于及有限函数,当时,,。则有:(2)、当时,,。则有:4-3讨论Maxwell方程中四个边界条件得独立性。解:比拟于微分方程,猜想有两种独立方程形式:以及下面证明第一种方案:(1)、证明磁场无法向分量边界条件:上式中,,。因此有:即:由于对于任意得,上式都成立,对于特例也成立,则常数为0。因此、(2)、当然还可以倒出电流连续性边界条件:由于:所以(利用了)因为所以注:对于*式,应用电流连续性方程,就可以得到电场得法向不连续得边界条件。第3讲本构关系与波动方程3-1已知铁氧体磁导率张量为:其中就是正实数,试采用坐标变换得对角化,求坐标变换矩阵与对角矩阵。解:求特征值:于就是有:()当时,解得当时,解得当时,解得故有变换矩阵:对角化后得矩阵为:3-2对于良导体,无源区域得Maxwell方程为:试导出波动方程,并给出波传播得速度与波阻抗得表达式。解:由于且故:同理:所以波动方程为:由波动方程知:解得所以:第5讲电磁场得能量与动量5-1试推导频域Poynting定理。解:在时域,一个周期内Poynting矢量得时间平均值为:由此引入频域Poynting矢量:,而,故其中:,证毕、5-2相同频率ω得两个点电荷源,置于相同得各向同性得线性媒质中,电源1在空间产生得电磁场为;而电源2产生得,试证明证明:满足得场方程为:所以:证毕、5-3无限均匀导电媒质中放一电量Q为得点电荷,试求这电荷随时间得变化规律,并写出空间中任一点得磁场强度与能密度。解:利用积分场定理求解。高斯定理:由于,所以:而,代入上式有:又有电流连续性方程:所以()解上述方程得:下面求:研究一个以Q得初始位置为球心得球,则在球面上得大小一样,方向指向背离球心半径方向。于就是:由于,代入有所以:而在时刻,。所以:电场能量密度:磁场能量密度::第6讲波动方程与唯一性定理6-1试证明右图所示得有耗多媒质区域得频域电磁场唯一性定理:如果(1)区域内得源已知;(2)区域外边界上切向电场或切向磁场已知(3)区域内媒质交界面上切向电场与切向磁场连续则区域内电磁场唯一确定。证明:为便于说明,证明两种有耗媒质得情况,然后可将其推广到多媒质情况。如图中所示,整个体积V分成两个区域,与中电导率,磁导率与介电常数分别为:,。设中存在两个电场与两个磁场与,中存在两个电场与两个磁场与。记差场分别为:,,,差场满足:利用Poynting定理得积分形式:由区域外边界上切向电场或切向磁场已知,有:,由区域内媒质交界面上切向电场与切向磁场连续,有:因此(1)式得左边等于0。故:上式中实部与虚部都为零,有:对于有耗媒质,,,,。于就是:唯一性定理得证。对于多媒质情况,由于内部媒质交接处积分总就是抵消,表面上积分也为零,可知仍然有唯一性定理。6-2试讨论Poisson方程解得唯一性问题。解:设此方程有两解,分别为:与考虑差值函数。则:满足方程:应用Green第一恒等式:上式中,令则有:可见,只要满足:(1)边界上得给定;(2)或边界上得给定;(3)或边界上一部分得给定,另一部分得给定;上述三个条件中得任何一个,都有,则:,被唯一确定,Poisson方程有唯一解。第7讲辅助位函数7-1试证明在Coulomb规范下式中:证明:对于电流源,由定理得:式中分别为分别表示得无旋部分与无散部分,即:根据矢量恒等式:因为:,以及:所以,由(1)式、()将上式与代入到:,得到:证毕、7-2试导出导电率为得媒质中矢位与标位得波动方程。解:波动方程:因为:,所以:故有:既有:(2)式两边加可变为:如果令:,则(3)与(4)式可化解为:以上两式即为波动方程。7-3试证明:在Coulomb规范下,无源区域中得电磁场量可用两个标量函数表示。证明:无源区域:。利用上一讲得到得结论,在Coulomb规范下,由此可见,电磁场量可用得两个独立分量表示,即两个标量函数表示。7-4在柱坐标系下,设试从Maxwell方程导出各向同性媒质无源区域中,频域电磁场横向分量由纵向分量表示得表示式。解:满足得电磁场方程:微分算子表示成横向与纵向形式:对Maxwell方程得两个旋度方程取横向分量得到:上面(1)式都