时钟夹角公式及其应用.doc

时钟夹角公式及其应用湖北省来凤县接龙中学445700胡永安HYPERLINK"mailto:邮箱[e-mail]"邮箱[e-mail]我们知道，时钟表面的时针与分针各自绕着时钟的中心匀速转动，在不同的时刻，两针之间形成不同的角度。时钟夹角问题是一种特殊的行程问题，解题难度较大。如果能推导出时钟夹角公式，那么我们就能利用该夹角公式，可以很快地、程序化地解决这类问题。我们先来推导时钟在任意时刻两针夹角公式。设时钟所处的时刻是时分（是从到的整数，）。先分析时针所经过的角度情况：时针每小时经过，小时共经过；时针每分钟经过，分钟共经过。故知从时分到时分这一段时间内，时针共经过。再分析分针所经过的角度情况：分针每分钟经过，分钟共经过。故知从分到分这一段时间内，分针共经过。我们由行程问题有关知识可知，当时钟所处的时刻是时分两针的夹角，相当于时针从时分到时分这一段时间所经过的角度与分针从分到分这一段时间所经过的角度之差，由于我们不能确定时针和分针谁经过的角度谁多谁少（即不能确定两针的前后位置），所以应加上绝对值符号，为另外，我们在实际生活中对于两针的夹角是取小于或等于平角的角，这样我们就得到了时钟在时分这一时刻两针夹角公式：若，则两针夹角为………………………………①若，则两针夹角为………………………②下面举例谈谈时钟夹角公式的应用。一、已知时刻，利用夹角公式计算两针的夹角例1求时分两针夹角。解：例2求时分两针夹角。解：∵∴两针夹角为：已知两针的夹角，利用夹角公式列方程求时刻例3时钟在时与时之间的什么时刻，两针夹角为？解：设在时分两针夹角为。由公式①，得方程∴∴(分)（分）答：在时分或时分，两针夹角为。例4时钟在时与时之间的什么时刻，两针夹角为？解：设在时分两针夹角为。下面分两种情况讨论：（1）由公式①，得方程∴∴（负值，舍去）（分）；（2）由公式②，得方程∴∴∴（负值，舍去）（分）答：在时分或时分，两针夹角为。例5时针在时与时之间的什么时刻，两针夹角为？解：设在时分两针夹角为。下面分两种情况讨论：（1）由公式①，得方程∴∴（负值，舍去）（分）（2）由公式②，得方程∴∴∴（负值，舍去）（超过，舍去）答：在时分，两针夹角为。特别指出，如果时钟在某相邻两个整点时刻（如时与时）之间的某时刻两时针的夹角已知，我们要求该时刻，由于这样的时刻最多有两个（以时针为准，分针有可能在前也有可能在后），若用公式①已求出满足条件的两个时刻，那么我们就不必考虑用公式②列方程；若用公式①只求出一个时刻，那么我们还要用公式②列方程，看看还有没有另外的满足条件的时刻。