一题多解的应用 (2).doc

例题：已知tanα=,求sinα,cosα的值分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tanα==，且sina2α+cos2α=1。两式联立，得出：cos2α=,cosα=或者cosα=-；而sinα=或者sinα=-。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二tanα=：α在第一、三象限在第一象限时：cos2α===cosα=sinα==而在第三象限时：cosa=-sina=-分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三tanα==↔=↔==±∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-法四当α为锐角时，由于tana=,在直角△ABC中，设α=A,a=3x,b=4x，则勾股定理，得，c=5xsinA==,cosA==∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：法五当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，设α=∠AOT，因为tanα=，则T点坐标是T(1,),由勾股定理得：OT==∵△OMP∽△0AT∴==，OM=,MP=,p(,),∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：解法六，如上图，易求出直线OT的方程和单位圆的方程y=x；x2+y2=1两式联立，得出：，或.T点坐标是P(-,-)P(,)∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：解法七，tanα==4sina-3cosa=0由三角函数辅助角公式得，5sin（a+φ）=0,其中，sinφ=,cosφ=∴a+φ=kπ，k∈Zsina=sin（kπ-φ）=sinφα在第一、三象限∴容易求出sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-分析：仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍角公式是否能解决此问题：解法八，由二倍角公式，得，tanα==3tan2+8tan-3=0∴tan=-3,或tan=sinα=2sincos==2∴sinα=，cosα=或sinα=-，cosα=-