2020年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷.doc

2020年云南昆明理工大学高等代数考研真题A卷

一、填空题（每小题3分，共30分）
1.设多项式分别除以，所得余式为，则除以的余式为.
2.设，则.
3.已知，为矩阵，且秩，若秩，则.
4.设，，且与线性相关，则.
5.设有四个未知数的非齐次线性方程组，已知系数矩阵的秩为3，方程组有三个解，其中，，则方程组的通解为.
6.设和是3级实对称矩阵的两个不同的特征值，，是的属于特征值的特征向量，则.
7.已知方阵满足，则.
8.若实二次型是正定的，则的取值范围是.
9.维欧氏空间中，满足条件的正交基的度量矩阵.
10.设为维欧氏空间，为中固定的向量，则子空间的维数为.
二、计算题（共105分）
1.（15分）计算阶行列式

（15分）设的两组基

求由基(I)过渡到基(II)的过渡矩阵；
求中在基(I)和基(II)下有相同坐标的全体多项式.
3.（15分）已知矩阵，且矩阵满足
，求.
4.（20分）已知二次型所对应矩阵的三个特征值为.
求;
求一正交变换,将二次型化为标准形.
5.(20分)当取何值时，非齐次线性方程组

(1)无解；(2)有唯一解；(3)有无穷多解，并在无穷解时，求其通解.
6.（20分）设3维欧氏空间中元素在的标准正交基下的坐标为，
定义的线性变换如下

其中表示与的内积.
求线性变换在标准正交基下的矩阵；
(2)求的一组标准正交基，使在该组基下的矩阵为对角矩阵.
三、证明题（共15分）
已知的两个子空间
，

证明：
.