2020重庆考研数学二真题及答案.doc

2020重庆考研数学二真题及答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
当x0时，下列无穷小量中最高阶是（ ）
0
0
（A）xet21dt （B）xln1t2dt

sinxsint2dt
0

【答案】（D）

1cosx

0
sint2dt
【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

xet2
1dt

2
ex

1x2
0

0
xln1
t2dtln1
x2x

（C）
sinx
sint2dt
sinsin2xx2

0

sint2

1cosx

0
dt

sin(1cosx)2
sinx1x3
2

经比较，选（D）

函数f(x)

1
ex1ln1x

(ex1)(x2)


的第二类间断点的个数为 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【答案】（C）

【解析】由题设，函数的可能间断点有x1,0,1,2，由此

ex1ln1x
1

ex1ln1x
limf(x)lim
1
 e2

limln1x；
x1
x1(ex1)(x2) 3(e11)x11
limf(x)lim
e1

lim
ln(1x)1；

x0
x0(ex1)(x2) 2
x0 x 2e

ex1ln1x
1

limf(x)lim

ln2


1
limex10;
x1

ex1ln1x
1
x1(ex1)(x2) 1ex1
；
lim

ln2
1
limex1;
x1(ex1)(x2) 1ex1

1
2
x2
ex1ln1x eln3 1
x2
x2(ex
limf(x)lim
1)(x2)(e1)limx2
故函数的第二类间断点（无穷间断点）有3个，故选项（C）正确。

1arcsin
（3）
xdx（ ）
0

2
（A）
4
x1x
2
（B）
8



（C）
4



（D）
8

【答案】（A）

x
【解析】令


sint，则xsin2t，dx2sintcostdt

   2
1arcsin
xdx2 t 2sintcostdt22tdtt2
2
0 x1x
0sintcost
0 0 4

（4）fxx2ln1x,n3时，fn0

（A）
n!n2

（B）
n!n2
n2!

（C） （D）
n
n2!

n

【答案】(A)
xn 2
xn2
 xn
n
【解析】由泰勒展开式，ln(1x)
n1
，则x
ln(1x)
n
n1
 ，
n2
n3
故f(n)(0)
n!.
n2
xy,xy0

（5）关于函数fx,yx,
y,
y0
x0
给出以下结论
f
x
f
xy
① 0,01②
0,0
1③
lim
x,y0,0
f(x,y)0
④limlimf(x,y)0
y0x0
正确的个数是

（A）4 （B）3 （C）2 （D）1

【答案】（B）

f

fx,0f0,0


x0
【解析】
x
0,0lim

x0
f
x0

f
x0,y
1
f
lim
x0 x
1，①正确
f
limx0,y
x0,0lim ,
xy
0,0
y0
y0
y0 y
而f limfx,yf0,ylimxyylimx1y


不存在，所以②错误；
x0,y
x0
x0
x0 x
x0 x
xy0x
y,x0
x,y0
y,从而x,y0,0时，

lim
x,y0,0
f(x,y)0，

③正确。


limfx,y0,xy0或y0,从而limlimf(x,y)0，④正确
x0
y,
x0
y0x0

（6）设函数f(x)在区间[2,2]上可导，且f'(x)f(x)0.则

(A)
f(2)1
f(1)

(B)
f(0