2021重庆考研数学三真题及答案.doc

2021重庆考研数学三真题及答案
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
x
t3
2
(1)当x0时，0(e
1)dt是x7的
(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.
【答案】C.
x2 t3 
x6 7
x2 t3 7
【详解】因为当x0时，0(e1)dt
确答案为C.
2x(e
1)x
，所以0(e1)dt是x高阶无穷小，正
ex1

(2)函数f(x)= x ,x0,在x0处
 1,x0
(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.
(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.
【答案】D.

【详解】因为limf(x)=lim
ex1

1f(0)，故f(x)在x0处连续；
x0
x0 x

f(x)f(0)
ex1

1
x

ex1x 1 1

因为lim =lim
lim
 ，故f(0) ，正确答案为D.
x0
x0
x0
x0
x0 x2 2 2
(3)设函数f(x)axblnx(a0)有两个零点，则b的取值范围是
a
(A)(e,). (B)(0,e). (C)(0,1). (D)(1,).
e e
【答案】A.
【详解】令f(x)axblnx0，f(x)ab，令f(x)0有驻点xb，fbabblnb0，
x
从而lnb1，可得be，正确答案为A.

a
a  a a
a a
(4)设函数f(x,y)可微，f(x1,ex)x(x1)2，f(x,x2)2x2lnx，则df(1,1)
dxdy. (B)dxdy. (C)dy. (D)dy.
【答案】C.
1 2
【详解】f(x1,ex)exf(x1,ex)(x1)22x(x1) ①
1 2
f(x,x2)2xf(x,x2)4xlnx2x ②
x0 x1
分别将y0，y1带入①②式有
 
f1(1,1)f2(1,1)1，f1(1,1)2f2(1,1)2
联立可得f1(1,1)0，f2(1,1)1，df(1,1)f1(1,1)dxf2(1,1)dydy，故正确答案为C.
二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的正惯性指数与负惯性指数依次为
1 2 3 1 2 2 3 3 1
(A)2,0. (B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.
【答案】B.
【详解】f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)22x22xx2xx2xx
1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 12 23 13

0 1 1
 
所以A1 2 1，故特征多项式为
 
1 1 0
 1
|EA|1 2
1 1
1
1(1)(3)

令上式等于零，故特征值为1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.
T 1
1 
设A(,,,)为4阶正交矩阵，若矩阵B=T，1，k表示任意常数，
1 2 3 4
2 
T 1
3 
则线性方程组Bx的通解x
(A)234k1. (B)134k2.
(C)124k3. (D)123k4.
【答案】D.
【解析】因为A(1,2,3,4)为4阶正交矩阵，所以向量组1,2,3,4是一组标准正交向量
T
1
组，则r(B)3，又B=T0，所以齐次线性方程组Bx0的通解为k.而
4 24 4
T
3
T 1
1 
B()=T()1
，故线性方程组
Bx
的通解
1 2 3 2 1 2 3 
T
1
3 
x123k4，其中k为任意常数.故应选D.
1 0 1
已知矩阵A2 1 1，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角
 
1 2 5
 
矩阵，则P，Q可以分别取
1 0 0
1 0 1
1 0 0
1 0 0
(A)0 1 0，0 1 3. (B)2 1 0，0 1 0.
 
 
0 0 1
 
 
0 0 1