2021陕西考研数学二真题及答案.doc

2021陕西考研数学二真题及答案
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
x
3
2
t
1.当x0，0(e
1)dt是x7的
低阶无穷小. B.等价无穷小. C.高阶无穷小. D.同阶但非等价无穷小.

【答案】C.
x2et31dt
2ex61
6

【解析】 0
lim
x0
x7
ex1
lim
x0
7x5
lim2x
x07x5
0,故选C.

2.函数f(x) x ,
 1,
x0,
在x0处
x0

A.连续且取极大值 B.连续且取极小值

C.可导且导数等于零 D.可导且导数不为零

【答案】D

【解析】因为lime
x0

导，所以选D.

11
x
x


f(0)，故连续；又因为


lim
x0

ex1

1
x 
x


ex1x2x2

1，故可
2
.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，3cm/s，当底面半径为
10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为

A. 125cm3/s,40cm2/s

B. 125cm3/s,40cm2/s

C. 100cm3/s,40cm2/s

D. 100cm3/s,40cm2/s

【答案】C.

【解析】dr2，dh3；Vπr2h，S2πrh2πr2.
dt dt
dV2πrhdrπr2dh100π.
dt dt dt

dS2πhdr2πrdh4πrdr40π.
dt dt dt dt
.设函数f(x)axblnx(a0)有2个零点，则b的取值范围
a
A.(e,)

【答案】A.
B.(0,e) C. 1
(0,)
e
D.(,)
1
e
【解析】fxaxblnx,若b0，不满足条件，舍去；若b0，令fxab=0，
x
得xb.在0b  b

,fx0.
，,f x 0, ，+
a  a a 
limfx,limfx，
x0
x

令fb=bblnbb1lnb0,得lnb1，即be.故选A.
a
a  a a a
   

.设函数f(x)secx

A.a1,b1
2

C.a0,b1
2
在x0处的2次泰勒多项式为1axbx2，则

B.a1,b1
2

D.a0,b1
2

【答案】D.

【解析】fxsecxf0f0x

f0x2ox211x2ox2.
2 2

所以可得a0，b1.
2

6.设函数f(x,y)可微，且f(x1,ex)x(x1)2,f(x,x2)2x2lnx,则df(1,1)
dxdy
dxdy
dy D.dy

【答案】选C

【解析】由于f(x1,ex)x(x1)2，两边同时对x求导得

f1(x1,ex)f2(x1,ex)ex(x1)22x(x1).
令x0得f(1,1)f(1,1)10,f(x,x2)f(x,x2)2x4xlnx2x21;
1 2 1 2 x

令x1得f1(1,1)2f2(1,1)2.因此f1(1,1)0；f2(1,1)1.
所以df(1,1)dy，故选C.

1
设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则0f(x)dx

n 2k11 n 2k11
A.limf  B.limf 
nk1
2n
2n
nk1
2nn

2n k11 2n k2
C.limf  D.limf 
nk1
【答案】选B
2nn
nk1
2nn

【解析】将0,1的区间n等分，每一份取区间中点的函数值fk1，故选B.


n 2n

二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的正惯性指数与负惯性指数依
1 2 3 1 2 2 3 3 1

次为
A.2，0

B.1，1

C.2，1

D.1，2
【答案】选B
【解析】

fx,x,xxx2xx2xx2
1 2 3 1 2 2 3 3 1

x22xxx2x22xxx2x22xxx2
1 12 2 2 23 3 3 13 1

2x22xx2xx2xx.
2 12 23 13