2023年考研数学二真题及答案.doc

2023年考研数学二真题及答案
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1.的斜渐近线为()
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】由已知，则
，

，
所以斜渐近线为.故选B.
2.函数的一个原函数为（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D.
【解析】由已知，即连续.
所以在处连续且可导，排除A，C.
又时，，
排除B.
故选D.

3.设数列满足,当时().
A.是的高阶无穷小 B.是的高阶无穷小
C.是的等价无穷小 D.是的同阶但非等价无
穷小
【答案】B.
【解析】在中，，从而.又，从而
，
所以.故选B.
4.若的通解在上有界，这（）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】微分方程的特征方程为.
=1\*GB3①若，则通解为；
=2\*GB3②若，则通解为；
=3\*GB3③若，则通解为.
由于在上有界，若，则=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中时通解无界，若，则=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中时通解无界，故.
时，若，则，通解为，在上有界.
时，若，则，通解为，在上无界.
综上可得，.故选D.

5.设函数由参数方程确定，则().
A.连续，不存在 B.存在，在处不连续
C.连续，不存在 D.存在，在处不连续
【答案】C
【解析】，故在连续.
.

时，；时，；时，，故在连续.
,
,
故不存在.故选C.
6.若函数在处取得最小值，则()
A.B.
C.D.

【答案】A.
【解析】已知，则
，
令，解得
故选A.

7.设函数.若没有极值点,但曲线有拐点,则的取值范围是().
A. B. C.[1,2) D.
【答案】C.
【解析】由于没有极值点,但曲线有拐点，则有两个相等的实根或者没有实根，有两个不相等的实根.于是知解得.故选C.
8.为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于
，
故

.
故选B.
9.的规范形为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
二次型的矩阵为，

，
，故规范形为，故选B.
10.已知向量组，若既可由线性表示，又可由线性表示，则()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，
，
解得，故
.故选D.

二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11．当时，与是等价无穷小，则________.
【答案】
【解析】由题意可知，

，
于是，即，从而.
12.曲线的孤长为_________.
【答案】
【解析】曲线的孤长为

.
13.设函数由方程确定，则_________.
【答案】
【解析】将点带入原方程，得.
方程两边对求偏导，得，
两边再对求偏导，得，将代入以上两式，得，.

14.曲线在对应点处的法线斜率为_________.
【答案】
【解析】当时，.
方程两边对求导，得，将，代入，得
.于是曲线在对应点处的法线斜率为.
15.设连续函数满足，，则_________.
【答案】
【解析】
.
16.有解，其中为常数，若，则________.
【答案】
【解析】方程组有解，则，故.

三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
设曲线经过点，上任一点到轴的距离等于该点处的切线在轴上的截距，
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)在L上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.
【解】(Ⅰ)曲线在点处的切线方程为，令，则切线在轴上的截距为，则，即，解得，其中为任意常数.
又，则，故.
(Ⅱ)设曲线在点处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为
.
令，则；令，则.
故切线与两坐标轴所围三角形面积为，
则.令，得驻点.
当时，；当时，，故在处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为.

18.（本题满分12分）
求函数的极值.
【解】由已知条件，有
，
.
令，解得驻点为，其中为奇数；，其中为偶数.
，，.
在点处，其中为奇数，
，，，
由于，故不是极值点，其中为奇数.
在点处，其中为偶数，
，，，
由于，且，故为极小值点，其中为偶数，且极小值为
.
19.（本题满分12分）
已知平面区域，
（1）求平面区域的面积.
(2)求平面区域绕一周所形成的旋转体的体积.
【解】(1)

.
(2).

20.（本题满分12分）
设平面区域位于第