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2023年青海考研数学三试题及答案
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1.已知函数，则（）.
A.不存在，存在 B.存在，不存在
C.存在，存在 D.不存在，不存在
【答案】A.
【解析】由已知，则
，.
当时，，；
当时，，；
所以不存在.
又，存在.
故选A.
2.函数的一个原函数为（）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D.
【解析】由已知，即连续.
所以在处连续且可导，排除A，C.
又时，，
排除B.
故选D.
3.若的通解在上有界，则（）.
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】微分方程的特征方程为.
=1\*GB3①若，则通解为；
=2\*GB3②若，则通解为；
=3\*GB3③若，则通解为.
由于在上有界，若，则=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中时通解无界，若，则=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中时通解无界，故.
时，若，则，通解为，在上有界.
时，若，则，通解为，在上无界.
综上可得，.

4.设，且与收敛，绝对收敛是绝对收敛的（）.
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件
【解析】由已知条件可知为收敛的正项级数，进而绝对收敛.
设绝对收敛，则由与比较判别法,得绝对收玫;
设绝对收敛，则由与比较判别法，得绝对收敛.故选A.

5.为可逆矩阵，为单位阵，为的伴随矩阵，则
A. B.
C. D.
【答案】B.
【解析】由于
，
故

.
故选B..
6.的规范形为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
二次型的矩阵为，

，
，故规范形为，故选B.
7.已知向量组，若既可由线性表示，又可由线性表示，则()
A.B.
C.D.
【答案】D.
【解析】设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，
，
解得，故
.
8.设服从参数为1的泊松分布，则（）.
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】方法一：由已知可得，,，故
.
故选C.
方法二：由于，于是于是
.
由已知可得，,，故

.
.
故选C.
9.设为来自总体的简单随机样本，为来自总体的简单随机样本，且两样本相互独立，记，，，，则()
A.B.
C.D.
【答案】D.
【解析】由两样本相互独立可得与相互独立，且
，，
因此，故选D.

10.已知总体服从正态分布，其中为未知参数，，为来自总体的简单随机样本，记，若，则().
A.B.C.D.
【答案】A.
【解析】由与，为来自总体的简单随机样本，，相互独立，且
，，
因而，令，所以的概率密度为
，
所以
，
由，即
，
解得，故选A.

二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11．求极限____________.
【答案】.
【解析】

.
12．已知函数满足，且，则
____________.
【答案】.
【解析】由已知，，则
，
所以，即，，
从而，又，解得，故
，.
13.____________.
【答案】.
【解析】令，则，且
，，
，
从而可得微分方程，解得，
又，，解得，故
.
14.某公司在时刻的资产为，则从时刻到时刻的平均资产等于，假设连续且，则____________.
【答案】.
【解析】由已知可得，整理变形，
等式两边求导，即，解得一阶线性微分方程通解为
，
又，解得，故.

15.有解，其中为常数，若，则________.
【答案】
【解析】方程组有解，则，故.

16.设随机变量与相互独立，且，，则与的相关系数为____________.
【答案】
【解析】由题意可得，，，又由与相互独立可知，，故

三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知函数满足，且.
（1）求的值;
（2）判断是否为函数的极值点.
【解】（1）将代入得.
方程两边对求导得
，
将代入上式得，解得.

(2)由（1）知，上式两边再对求导得

将代入上式得，所以是函数的极大值点.

18.（本题满分12分）
已知平面区域，
（1）求平面区域的面积.
(2)求平面区域绕一周所形成得旋转体的体积
【解】(1)

.
(2).
19.（本题满分12分）
已知，求.
【解】令，则

20.（本题满分12分）
设函数在上有二阶连续导数.
（1）证明：若，存在，使得；
（2）若在上存在极值，证明：存在，使得.
【证明】(1)将在处展开为
，
其中