八年级数学勾股定理经典例题解析.docx

八年级数学勾股定理经典例题解析经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c;(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2)在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3)在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13,CD=12∴AC2=AD2-CD2=132-122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16∴AB=4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，.求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴(的两个锐角互余)∴(在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵(已知)，∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长AD、BC交于E。∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB•BE-CD•DE=类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。解析：(1)过B点作BE//AD∴∠DAB=∠ABE=60°∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°即△ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m，AB=由勾股定理可得：所以(2)在Rt△ABC中，∵BC=500m，AC=1000m∴∠CAB=30°∵∠DAB=60°∴∠DAC=30°即点C在点A的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H.解：OC=1米(大门宽度一半)，OD=0.8米(卡车宽度一半)在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD===0.6米，CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.(二)用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3图(3)中，在Rt△ABC中同理∴图(3)中的路线长为图(4)中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH由∠FBH=及勾股定理得：EA=ED=FB=FC=∴EF=1-2FH=1-∴此图中总线路的长为4EA+EF=3>2.828>2.732∴图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.解：如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm，根据勾股定理得(提问：勾股定理)∴AC===≈10.77